Номер 13, страница 165 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

13. Найдите неизвестные элементы треугольника:

a) $x-?$

б) $KL \parallel BC$

$x-?$

б) $MN \parallel BC$

$x-?$

г) $x-?$

д) $P_{ABC}-?$

е) $P_{ABC} = 24$

$P_{AMN}-?$

ж) $\alpha-?$

з) $\alpha-?$

и) $P_{ABC} = 36$

$x-?$

к) $P_{ABC}-?$

а)

Отрезок с длиной 7 соединяет середины двух боковых сторон треугольника, на что указывают одинаковые штрихи на сторонах. Следовательно, этот отрезок является средней линией треугольника. По теореме о средней линии, ее длина равна половине длины параллельного ей основания. Основание треугольника имеет длину $x$.Таким образом, мы можем составить уравнение:$7 = \frac{x}{2}$Решая это уравнение, находим $x$:$x = 7 \times 2 = 14$
Ответ: $x=14$

б)

В треугольнике ABC проведена линия KL, параллельная стороне BC ($KL \parallel BC$). Точка K является серединой стороны AB, так как по условию $AK = KB$. Согласно теореме Фалеса, если прямая, параллельная одной из сторон треугольника, пересекает вторую сторону в ее середине, то она пересекает и третью сторону в ее середине. Таким образом, точка L является серединой стороны AC, а отрезок KL — средней линией треугольника ABC.Длина средней линии равна половине длины параллельного ей основания BC.$x = KL = \frac{BC}{2} = \frac{32}{2} = 16$
Ответ: $x=16$

в)

В треугольнике ABC отрезок MN параллелен стороне BC ($MN \parallel BC$), а точка M является серединой стороны AB ($AM = MB$). Это означает, что MN является средней линией треугольника ABC. Длина средней линии равна половине длины параллельной ей стороны.$x = MN = \frac{BC}{2} = \frac{20}{2} = 10$
Ответ: $x=10$

г)

Отрезок длиной 13 соединяет середины двух сторон треугольника, что показано одинарными и двойными штрихами. Таким образом, этот отрезок является средней линией. Сторона $x$ является основанием, параллельным этой средней линии. По теореме о средней линии, ее длина равна половине длины основания.$13 = \frac{x}{2}$$x = 13 \times 2 = 26$
Ответ: $x=26$

д)

Отрезки с длинами 4, 6 и 8 соединяют середины сторон большого треугольника ABC. Эти отрезки являются его средними линиями. Каждая средняя линия равна половине длины стороны, которой она параллельна.

• Сторона, параллельная средней линии длиной 4, равна $2 \times 4 = 8$.
• Сторона, параллельная средней линии длиной 6, равна $2 \times 6 = 12$.
• Сторона, параллельная средней линии длиной 8, равна $2 \times 8 = 16$.

е)

В треугольнике ABC точки M и N являются серединами сторон AC и AB соответственно (указано штрихами). Следовательно, MN — средняя линия треугольника ABC. Треугольник AMN подобен треугольнику ABC. Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответственных сторон, например, $k = \frac{AM}{AC} = \frac{1}{2}$.Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.$\frac{P_{AMN}}{P_{ABC}} = k = \frac{1}{2}$Нам дан периметр треугольника ABC: $P_{ABC} = 24$.$P_{AMN} = \frac{1}{2} \times P_{ABC} = \frac{1}{2} \times 24 = 12$
Ответ: $P_{AMN}=12$

ж)

Горизонтальный отрезок является средней линией треугольника, так как он соединяет середины боковых сторон. По свойству средней линии, она параллельна основанию треугольника. Угол $\alpha$ и угол $45^\circ$ являются накрест лежащими углами при пересечении двух параллельных прямых (средней линии и основания) секущей (отрезок, идущий из левой вершины к правому основанию). Накрест лежащие углы равны.Следовательно, $\alpha = 45^\circ$. Угол $61^\circ$ является избыточной информацией для решения этой задачи.
Ответ: $\alpha = 45^\circ$

з)

В треугольнике $ACD$ стороны $AC$ и $CD$ равны, значит, он равнобедренный. Углы, противолежащие равным сторонам, равны. Угол, противолежащий стороне $CD$, это $\angle A=70^\circ$. Угол, противолежащий стороне $AC$, это $\angle ADC$. Таким образом, $\angle ADC = \angle A = 70^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle ACD = 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 40^\circ$.Весь угол $C$ треугольника $ABC$ равен $74^\circ$ и состоит из двух углов: $\angle ACB = \angle ACD + \angle BCD$. Искомый угол это $\alpha = \angle BCD$.$\alpha = \angle BCD = \angle ACB - \angle ACD = 74^\circ - 40^\circ = 34^\circ$.
Ответ: $\alpha = 34^\circ$

и)

В треугольнике ABC углы при основании $\angle A = 60^\circ$ и $\angle C = 60^\circ$. Это означает, что треугольник ABC равносторонний, так как третий угол $\angle B$ также равен $60^\circ$. Периметр $P_{ABC} = 36$, следовательно, длина каждой стороны равна $36 / 3 = 12$.Штрихи на сторонах AB и BC указывают, что точки, соединенные отрезком $x$, являются серединами этих сторон. Таким образом, отрезок $x$ — это средняя линия треугольника.Длина средней линии равна половине длины параллельной ей стороны AC.$x = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6$
Ответ: $x=6$

к)

В треугольнике углы $\angle B = 60^\circ$ и $\angle C = 60^\circ$ (согласно расположению на чертеже). Следовательно, треугольник ABC является равносторонним, и все его углы равны $60^\circ$.Пусть точки на сторонах AB и AC обозначены как D и E. По условию, $AD=9$, $DE=9$, $CE=9$.Рассмотрим треугольник ADE. Угол $\angle A$ в нем равен $60^\circ$. Стороны $AD$ и $DE$ равны 9. Угол, противолежащий стороне $DE$ - это $\angle DAE = 60^\circ$. Угол, противолежащий стороне $AD$ - это $\angle AED$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В данном случае стороны $AD$ и $DE$ не составляют основание. Но мы можем применить теорему синусов, или проще заметить, что в $\triangle ADE$ с $AD=DE=9$ и $\angle A = 60^\circ$, угол $\angle AED$ противолежит стороне $AD$, а угол $\angle A$ - стороне $DE$. Так как $AD=DE$, то и противолежащие им углы должны быть равны: $\angle AED = \angle A = 60^\circ$.Поскольку два угла в треугольнике ADE равны $60^\circ$, третий угол также равен $60^\circ$, и треугольник ADE является равносторонним. Значит, $AE = AD = DE = 9$.Сторона AC большого треугольника состоит из отрезков AE и EC.$AC = AE + EC = 9 + 9 = 18$.Так как треугольник ABC равносторонний, все его стороны равны 18.Периметр $P_{ABC} = 3 \times AC = 3 \times 18 = 54$.
Ответ: $P_{ABC}=54$