Номер 11, страница 163 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

11. Найдите неизвестные элементы трапеции:

a)

$a - ?$

$\beta - ?$

б)

$a - ?$

$\beta - ?$

в)

$a - ?$

$\beta - ?$

г)

$a - ?$

$\beta - ?$

д)

$AC = BD$

$P_{ABCD} = 42$

е)

$P_{ABCD} - ?$

ж)

$x - ?$

з)

$x - ?$

и)

$P_{ABCD} - ?$

к)

$P_{ABCD} - ?$

а) В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180°, так как основания трапеции параллельны, а боковая сторона является секущей.

Для левой боковой стороны имеем: $ \beta + 75^\circ = 180^\circ $. Отсюда находим $ \beta $: $ \beta = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ $.

Для правой боковой стороны: $ \alpha + 52^\circ = 180^\circ $. Отсюда находим $ \alpha $: $ \alpha = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ $.

Ответ: $ \alpha = 128^\circ, \beta = 105^\circ $.

б) Аналогично предыдущей задаче, используем свойство о сумме углов при боковой стороне трапеции.

Сумма углов при левой боковой стороне: $ \beta + 69^\circ = 180^\circ $. Отсюда $ \beta = 180^\circ - 69^\circ = 111^\circ $.

Сумма углов при правой боковой стороне: $ \alpha + 97^\circ = 180^\circ $. Отсюда $ \alpha = 180^\circ - 97^\circ = 83^\circ $.

Ответ: $ \alpha = 83^\circ, \beta = 111^\circ $.

в) Трапеция является равнобедренной, так как ее боковые стороны равны (обозначены штрихами). В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

Следовательно, угол $ \alpha $ равен второму углу при том же основании, то есть $ \alpha = 72^\circ $.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°. Поэтому $ \alpha + \beta = 180^\circ $.

Подставив известное значение $ \alpha $, получим: $ 72^\circ + \beta = 180^\circ $, откуда $ \beta = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ $.

Ответ: $ \alpha = 72^\circ, \beta = 108^\circ $.

г) Данная трапеция является равнобедренной (боковые стороны равны). В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны.

Углы $ \beta $ и 107° прилежат к одному (верхнему) основанию, следовательно, они равны: $ \beta = 107^\circ $.

Углы $ \alpha $ и 107° прилежат к одной боковой стороне, их сумма равна 180°. Отсюда $ \alpha + 107^\circ = 180^\circ $.

Находим $ \alpha $: $ \alpha = 180^\circ - 107^\circ = 73^\circ $.

Ответ: $ \alpha = 73^\circ, \beta = 107^\circ $.

д) В трапеции ABCD даны основания BC=8 и AD=14. Указано, что диагонали равны ($ AC = BD $). Трапеция с равными диагоналями является равнобедренной.

Это означает, что ее боковые стороны равны: $ AB = CD $. Обозначим их длину как $c$.

Периметр трапеции $ P_{ABCD} $ — это сумма длин всех ее сторон: $ P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD $.

Подставим известные значения: $ 42 = c + 8 + c + 14 $.

$ 42 = 2c + 22 $.

$ 2c = 42 - 22 = 20 $.

$ c = 10 $. Таким образом, длины боковых сторон равны 10.

Ответ: Боковые стороны $ AB $ и $ CD $ равны 10.

е) Трапеция ABCD является равнобедренной, так как углы при основании AD равны. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны.

Следовательно, $ CD = AB = 10 $.

Периметр трапеции — это сумма длин всех ее сторон: $ P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD $.

Подставляем известные значения: $ P_{ABCD} = 10 + 7 + 10 + 11 = 38 $.

Ответ: $ P_{ABCD} = 38 $.

ж) На рисунке изображена прямоугольная трапеция. Неизвестная сторона $x$ является высотой трапеции.

Проведем высоту из верхнего правого угла на нижнее основание. Эта высота образует прямоугольный треугольник, в котором боковая сторона длиной 8 является гипотенузой, а катет, противолежащий углу в 30°, равен высоте $x$.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Следовательно, $ x = \frac{8}{2} = 4 $. Или через синус: $ \sin(30^\circ) = \frac{x}{8} $, $ x = 8 \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 $.

Ответ: $ x = 4 $.

з) Это прямоугольная трапеция. Её высота равна длине правой боковой стороны, то есть 5.

Проведем высоту из левого верхнего угла на нижнее основание. Получим прямоугольный треугольник, в котором боковая сторона $x$ является гипотенузой, а высота 5 — катетом, противолежащим углу 30°.

Используем свойство катета напротив угла 30°: $ 5 = \frac{x}{2} $.

Отсюда находим $x$: $ x = 5 \cdot 2 = 10 $. Или через синус: $ \sin(30^\circ) = \frac{5}{x} $, $ x = \frac{5}{\sin(30^\circ)} = \frac{5}{1/2} = 10 $.

Ответ: $ x = 10 $.

и) Дана равнобедренная трапеция с боковыми сторонами по 10, нижним основанием 12 и углами при нем 60°. Чтобы найти периметр, нужно найти длину верхнего основания.

Опустим из вершин верхнего основания две высоты на нижнее. Они отсекут два равных прямоугольных треугольника. Катет каждого такого треугольника, лежащий на нижнем основании, можно найти через косинус: $ a = 10 \cdot \cos(60^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 $.

Длина верхнего основания равна длине нижнего основания минус длины этих двух катетов: $ b_{верхнее} = 12 - 5 - 5 = 2 $.

Периметр трапеции: $ P_{ABCD} = 10 + 2 + 10 + 12 = 34 $.

Ответ: $ P_{ABCD} = 34 $.

к) Дана равнобедренная трапеция с боковыми сторонами по 16, верхним основанием 5 и углами при нижнем основании 60°. Чтобы найти периметр, нужно найти длину нижнего основания.

Проведем две высоты из вершин верхнего основания на нижнее. Они образуют центральный прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника. Средний отрезок на нижнем основании равен верхнему основанию, то есть 5.

Катет бокового треугольника, прилежащий к углу 60°, равен: $ a = 16 \cdot \cos(60^\circ) = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8 $.

Длина нижнего основания равна сумме длин трех отрезков: $ b_{нижнее} = 8 + 5 + 8 = 21 $.

Периметр трапеции: $ P_{ABCD} = 16 + 5 + 16 + 21 = 58 $.

Ответ: $ P_{ABCD} = 58 $.