Номер 283, страница 134 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

26. Координаты: точки на плоскости; середины отрезка. Расстояние между двумя точками. IV. Прямоугольная система координат на плоскости - номер 283, страница 134.

Условие.

283. Найдите:

a) на оси $Ox$ точку, равноудаленную от точек $A(3; 7)$ и $B(-5; 9)$;

б) координаты точки, равноудаленной от осей координат и находящейся от точки $(10; 0)$ на расстоянии, равном $5\sqrt{2}$.

Решение.

Решение 2 (rus).

a) на оси Ox точку, равноудаленную от точек A(3; 7) и B(-5; 9)

Дано:
Точки $A(3; 7)$ и $B(-5; 9)$.
Искомая точка $P$ лежит на оси $Ox$.

Найти:
Координаты точки $P(x; y)$.

Решение:
Так как искомая точка $P$ лежит на оси $Ox$, ее координата $y$ равна $0$. Пусть координаты точки $P$ будут $(x; 0)$.
Расстояние между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
По условию, точка $P$ равноудалена от точек $A$ и $B$, то есть $PA = PB$.
Из равенства расстояний следует равенство квадратов расстояний: $PA^2 = PB^2$.
Вычислим $PA^2$:
$PA^2 = (x-3)^2 + (0-7)^2 = (x-3)^2 + (-7)^2 = (x-3)^2 + 49$
Вычислим $PB^2$:
$PB^2 = (x-(-5))^2 + (0-9)^2 = (x+5)^2 + (-9)^2 = (x+5)^2 + 81$
Приравняем полученные выражения для $PA^2$ и $PB^2$:
$(x-3)^2 + 49 = (x+5)^2 + 81$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$x^2 - 6x + 9 + 49 = x^2 + 10x + 25 + 81$
$x^2 - 6x + 58 = x^2 + 10x + 106$
Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:
$-6x + 58 = 10x + 106$
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а константы в левую:
$58 - 106 = 10x + 6x$
$-48 = 16x$
Найдем значение $x$:
$x = \frac{-48}{16}$
$x = -3$
Таким образом, координаты искомой точки $P$ равны $(-3; 0)$.

Ответ:
$P(-3; 0)$

б) координаты точки, равноудаленной от осей координат и находящейся от точки (10; 0) на расстоянии, равном $5\sqrt{2}$

Дано:
Искомая точка $Q$ равноудалена от осей координат.
Точка $C(10; 0)$.
Расстояние от точки $Q$ до точки $C$ равно $QC = 5\sqrt{2}$.

Найти:
Координаты точки $Q(x; y)$.

Решение:
Если точка $Q(x; y)$ равноудалена от осей координат, это означает, что ее абсолютные значения координат равны, то есть $|x| = |y|$. Из этого следует, что $y = x$ или $y = -x$.
Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $y = x$
В этом случае точка $Q$ имеет координаты $(x; x)$.
Расстояние $QC = \sqrt{(x-10)^2 + (x-0)^2}$.
По условию, $QC = 5\sqrt{2}$. Составим уравнение:
$\sqrt{(x-10)^2 + x^2} = 5\sqrt{2}$
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$(x-10)^2 + x^2 = (5\sqrt{2})^2$
$x^2 - 20x + 100 + x^2 = 25 \cdot 2$
$2x^2 - 20x + 100 = 50$
Перенесем $50$ в левую часть уравнения:
$2x^2 - 20x + 100 - 50 = 0$
$2x^2 - 20x + 50 = 0$
Разделим все члены уравнения на $2$:
$x^2 - 10x + 25 = 0$
Это квадратное уравнение является полным квадратом, который можно записать как $(x-5)^2 = 0$.
Из этого следует, что $x-5 = 0$, то есть $x = 5$.
Так как в этом случае $y = x$, то $y = 5$.
Таким образом, первая возможная точка $Q_1$ имеет координаты $(5; 5)$.

Случай 2: $y = -x$
В этом случае точка $Q$ имеет координаты $(x; -x)$.
Расстояние $QC = \sqrt{(x-10)^2 + (-x-0)^2}$.
По условию, $QC = 5\sqrt{2}$. Составим уравнение:
$\sqrt{(x-10)^2 + (-x)^2} = 5\sqrt{2}$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(x-10)^2 + (-x)^2 = (5\sqrt{2})^2$
$x^2 - 20x + 100 + x^2 = 25 \cdot 2$
$2x^2 - 20x + 100 = 50$
Перенесем $50$ в левую часть уравнения:
$2x^2 - 20x + 100 - 50 = 0$
$2x^2 - 20x + 50 = 0$
Разделим все члены уравнения на $2$:
$x^2 - 10x + 25 = 0$
Это также является полным квадратом, который можно записать как $(x-5)^2 = 0$.
Из этого следует, что $x-5 = 0$, то есть $x = 5$.
Так как в этом случае $y = -x$, то $y = -5$.
Таким образом, вторая возможная точка $Q_2$ имеет координаты $(5; -5)$.

Ответ:
$(5; 5)$ и $(5; -5)$