Номер 279, страница 134 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

279. Дан отрезок $AB$ и его середина $C$. Найдите координаты:

a) точки $B$, если $A(1.5; 7)$, $C(2; 3.5)$;

б) точки $A$, если $B(-1\frac{2}{3}; 4.5)$, $C(-3; -2\frac{1}{3})$.

Для отрезка $AB$ и его середины $C$ координаты связаны формулами:

$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$

Из этих формул можно выразить координаты одного из концов отрезка, если известны координаты другого конца и середины:

$x_A = 2x_C - x_B$

$y_A = 2y_C - y_B$

$x_B = 2x_C - x_A$

$y_B = 2y_C - y_A$

a) точки B, если A(1,5; 7), C(2; 3,5);

Дано:

Координаты точки $A: A(1.5; 7)$

Координаты середины отрезка $AB$: $C(2; 3.5)$

Перевод в СИ:

Координаты являются безразмерными величинами в данном контексте, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

$x_A = 1.5$

$y_A = 7$

$x_C = 2$

$y_C = 3.5$

Найти:

Координаты точки $B(x_B; y_B)$.

Решение:

Используем формулы для нахождения координат точки $B$:

$x_B = 2x_C - x_A$

$y_B = 2y_C - y_A$

Подставляем известные значения:

$x_B = 2 \cdot 2 - 1.5 = 4 - 1.5 = 2.5$

$y_B = 2 \cdot 3.5 - 7 = 7 - 7 = 0$

Ответ: Координаты точки $B(2.5; 0)$.

b) точки A, если B(-1 2/3; 4,5), C(-3; -2 1/3).

Дано:

Координаты точки $B: B(-1 \frac{2}{3}; 4.5)$

Координаты середины отрезка $AB$: $C(-3; -2 \frac{1}{3})$

Перевод в СИ:

Координаты являются безразмерными величинами в данном контексте, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

$x_B = -1 \frac{2}{3} = -\frac{3 \cdot 1 + 2}{3} = -\frac{5}{3}$

$y_B = 4.5 = \frac{45}{10} = \frac{9}{2}$

$x_C = -3$

$y_C = -2 \frac{1}{3} = -\frac{3 \cdot 2 + 1}{3} = -\frac{7}{3}$

Найти:

Координаты точки $A(x_A; y_A)$.

Решение:

Используем формулы для нахождения координат точки $A$:

$x_A = 2x_C - x_B$

$y_A = 2y_C - y_B$

Подставляем известные значения:

$x_A = 2 \cdot (-3) - (-\frac{5}{3}) = -6 + \frac{5}{3} = -\frac{18}{3} + \frac{5}{3} = -\frac{13}{3}$

$y_A = 2 \cdot (-\frac{7}{3}) - \frac{9}{2} = -\frac{14}{3} - \frac{9}{2}$

Приводим дроби к общему знаменателю (6):

$y_A = -\frac{14 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{9 \cdot 3}{2 \cdot 3} = -\frac{28}{6} - \frac{27}{6} = -\frac{28 + 27}{6} = -\frac{55}{6}$

Ответ: Координаты точки $A(-\frac{13}{3}; -\frac{55}{6})$.