Вопросы, страница 133 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Объясните, что такое прямоугольная система координат и как определяются координаты точки.

2. Выведите формулу для координат середины отрезка.

3. Выведите формулу расстояния между двумя точками с данными координатами.

1. Объясните, что такое прямоугольная система координат и как определяются координаты точки.

Прямоугольная система координат (также известная как декартова система координат) — это система, используемая для однозначного определения положения точки на плоскости или в пространстве с помощью упорядоченного набора чисел, называемых координатами. На плоскости она состоит из двух взаимно перпендикулярных прямых (осей), которые пересекаются в одной точке, называемой началом координат. Горизонтальная ось обычно называется осью абсцисс (или осью X), а вертикальная — осью ординат (или осью Y).

Для определения координат точки $P$ на плоскости из этой точки опускают перпендикуляры на каждую из осей. Точка пересечения перпендикуляра с осью X дает координату $x$ (абсциссу), а точка пересечения перпендикуляра с осью Y дает координату $y$ (ординату). Координаты точки записываются в виде упорядоченной пары $(x, y)$. Каждой точке на плоскости соответствует единственная пара чисел, и каждой паре чисел соответствует единственная точка на плоскости.

Ответ:

2. Выведите формулу для координат середины отрезка.

Пусть дан отрезок с концами в точках $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$. Необходимо найти координаты точки $M(x_m, y_m)$, которая является серединой этого отрезка.

Представим, что точки $A$, $M$, $B$ лежат на одной прямой. Если спроецировать эти точки на ось X, мы получим точки $A_x(x_1, 0)$, $M_x(x_m, 0)$ и $B_x(x_2, 0)$. Так как $M$ является серединой отрезка $AB$, то и проекция $M_x$ будет серединой отрезка $A_xB_x$ на оси X. То же самое справедливо и для проекций на ось Y.

Для проекций на ось X: длина отрезка $A_xM_x$ равна длине отрезка $M_xB_x$. То есть, $x_m - x_1 = x_2 - x_m$.

Решая это уравнение относительно $x_m$:

$2x_m = x_1 + x_2$

$x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}$

Аналогично, для проекций на ось Y:

$y_m - y_1 = y_2 - y_m$

$2y_m = y_1 + y_2$

$y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Таким образом, координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое соответствующих координат его концов.

Ответ: Координаты середины отрезка $M(x_m, y_m)$ определяются формулами: $x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

3. Выведите формулу расстояния между двумя точками с данными координатами.

Пусть даны две точки на плоскости: $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$. Необходимо найти расстояние $d$ между этими точками.

Для вывода формулы воспользуемся теоремой Пифагора. Построим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого будет отрезок $AB$. Для этого проведем из точки $A$ прямую, параллельную оси X, и из точки $B$ прямую, параллельную оси Y. Эти прямые пересекутся в точке $C(x_2, y_1)$ (или $C(x_1, y_2)$ в зависимости от расположения точек, но результат будет тот же).

Тогда стороны прямоугольного треугольника $ABC$ будут:

• Катет $AC$ лежит на прямой, параллельной оси X. Его длина равна абсолютному значению разности абсцисс точек $A$ и $C$: $AC = |x_2 - x_1|$.
• Катет $BC$ лежит на прямой, параллельной оси Y. Его длина равна абсолютному значению разности ординат точек $B$ и $C$: $BC = |y_2 - y_1|$.

По теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы $AB$ (то есть расстояния $d$) равен сумме квадратов длин катетов:

$d^2 = AC^2 + BC^2$

Подставим значения длин катетов:

$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

Знак модуля можно опустить, так как возведение в квадрат делает результат положительным независимо от знака разности.

Чтобы найти расстояние $d$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Ответ: Расстояние между двумя точками $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ определяется формулой: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.