Номер 270, страница 127 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

270. Найдите площадь:

а) треугольника $ABC$, если известны сторона $AC = 5$ см и медианы $AA_1 = 4,5$ см, $CC_1 = 6$ см;

б) равностороннего треугольника, если разность между его стороной и высотой равна $d$.

а) треугольника ABC, если известны сторона AC = 5 см и медианы AA₁ = 4,5 см, CC₁ = 6 см

Дано:

Сторона $AC = 5$ см

Медиана $AA_1 = 4.5$ см

Медиана $CC_1 = 6$ см

Перевод в СИ:

$AC = 5 \cdot 10^{-2}$ м

$AA_1 = 4.5 \cdot 10^{-2}$ м

$CC_1 = 6 \cdot 10^{-2}$ м

Найти: Площадь треугольника $S_{ABC}$

Решение:

Пусть $M$ - точка пересечения медиан треугольника $ABC$. Медианы делятся точкой пересечения в отношении $2:1$, считая от вершины. Тогда:

$AM = \frac{2}{3} AA_1 = \frac{2}{3} \cdot 4.5 = 3$ см

$CM = \frac{2}{3} CC_1 = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$ см

Рассмотрим треугольник $AMC$. Его стороны равны: $AC = 5$ см, $AM = 3$ см, $CM = 4$ см.

Проверим соотношение Пифагора для сторон треугольника $AMC$:

$AM^2 + CM^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$AC^2 = 5^2 = 25$

Так как $AM^2 + CM^2 = AC^2$, треугольник $AMC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$.

Площадь прямоугольного треугольника $AMC$ равна половине произведения его катетов:

$S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot CM = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ см$^2$

Известно, что медианы треугольника делят его на три треугольника, площади которых равны (треугольники $AMB$, $BMC$, $CMA$). Таким образом, площадь треугольника $AMC$ составляет одну треть площади исходного треугольника $ABC$.

Значит, $S_{ABC} = 3 \cdot S_{AMC}$

$S_{ABC} = 3 \cdot 6 = 18$ см$^2$

В единицах СИ:

$S_{ABC} = 18 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 18 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 1.8 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2$

Ответ: $18$ см$^2$ (или $1.8 \cdot 10^{-3}$ м$^2$)

б) равностороннего треугольника, если разность между его стороной и высотой равна d

Дано:

Равносторонний треугольник со стороной $a$ и высотой $h$.

$a - h = d$

Перевод в СИ:

Поскольку $d$ является разностью длин, её единицей измерения в СИ является метр (м).

Найти: Площадь равностороннего треугольника $S$

Решение:

Для равностороннего треугольника со стороной $a$ высота $h$ выражается формулой:

$h = a \frac{\sqrt{3}}{2}$

Площадь $S$ равностороннего треугольника выражается формулой:

$S = a^2 \frac{\sqrt{3}}{4}$

Используем данное условие $a - h = d$:

$a - a \frac{\sqrt{3}}{2} = d$

Вынесем $a$ за скобки:

$a \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = d$

$a \left(\frac{2 - \sqrt{3}}{2}\right) = d$

Выразим $a$:

$a = \frac{2d}{2 - \sqrt{3}}$

Для упрощения знаменателя умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $2 + \sqrt{3}$:

$a = \frac{2d}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2d(2 + \sqrt{3})}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2d(2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = 2d(2 + \sqrt{3})$

Теперь подставим это выражение для $a$ в формулу площади:

$S = a^2 \frac{\sqrt{3}}{4}$

$S = \left(2d(2 + \sqrt{3})\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{4}$

$S = (4d^2 (2 + \sqrt{3})^2) \frac{\sqrt{3}}{4}$

$S = d^2 \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})^2$

Раскроем скобки $(2 + \sqrt{3})^2$:

$(2 + \sqrt{3})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$

Подставим это обратно в выражение для $S$:

$S = d^2 \sqrt{3} (7 + 4\sqrt{3})$

$S = d^2 (7\sqrt{3} + 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})$

$S = d^2 (7\sqrt{3} + 4 \cdot 3)$

$S = d^2 (12 + 7\sqrt{3})$

Ответ: $S = d^2 (12 + 7\sqrt{3})$