Номер 264, страница 126 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

264. a) Высота равнобедренного треугольника, проведенная к его боковой стороне, равна $h$, а острый угол при его основании равен $\alpha$. Найдите площадь треугольника.

б) Дан равнобедренный треугольник, основание которого равно 5 см, а боковая сторона 4 см. Найдите сумму расстояний от произвольной точки основания до боковых сторон треугольника. Сравните полученную величину с высотой треугольника, проведенной к боковой стороне.

a)

Дано:
Равнобедренный треугольник.
Высота к боковой стороне: $h_b = h$.
Острый угол при основании: $\alpha$.

Найти:
Площадь треугольника $S$.

Решение:
Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC — боковые стороны, AC — основание. Углы при основании равны $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$.
Высота, проведенная к боковой стороне BC из вершины A, обозначим ее AD. По условию, $AD = h$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD (где D лежит на стороне BC, так как $\alpha$ острый, то угол при вершине B будет тупым, если $\alpha > 45^\circ$, но в равнобедренном треугольнике углы при основании всегда острые, а угол при вершине может быть тупым или острым. Если угол при вершине B тупой, то точка D будет лежать вне отрезка BC, на его продолжении. Однако, если AD - высота к боковой стороне, то она может быть опущена из вершины основания на противоположную боковую сторону. Пусть AD - высота из A на BC.
Угол при вершине B в треугольнике ABC равен $\angle ABC = 180^\circ - 2\alpha$.
В прямоугольном треугольнике ABD (с прямым углом D):
$AD = AB \sin(\angle ABC)$
$h = AB \sin(180^\circ - 2\alpha)$
Используя свойство $\sin(180^\circ - x) = \sin x$:
$h = AB \sin(2\alpha)$
Длина боковой стороны $AB = \frac{h}{\sin(2\alpha)}$.
Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC)$. Поскольку в равнобедренном треугольнике AB = BC, то:
$S = \frac{1}{2} (AB)^2 \sin(\angle ABC)$
Подставим выражение для AB и $\angle ABC$:
$S = \frac{1}{2} \left(\frac{h}{\sin(2\alpha)}\right)^2 \sin(180^\circ - 2\alpha)$
$S = \frac{1}{2} \frac{h^2}{\sin^2(2\alpha)} \sin(2\alpha)$
$S = \frac{h^2}{2\sin(2\alpha)}$

Ответ: $S = \frac{h^2}{2\sin(2\alpha)}$

б)

Дано:
Равнобедренный треугольник ABC.
Основание $AC = a = 5$ см.
Боковая сторона $AB = BC = b = 4$ см.

Перевод в СИ:
$a = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$
$b = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:
1. Сумма расстояний от произвольной точки основания до боковых сторон ($d_1 + d_2$).
2. Высота треугольника, проведенная к боковой стороне ($h_b$).
3. Сравнить $d_1 + d_2$ с $h_b$.

Решение:
1. Найдем сумму расстояний от произвольной точки P на основании AC до боковых сторон AB и BC. Пусть эти расстояния $PD_1 = d_1$ (перпендикуляр к AB) и $PD_2 = d_2$ (перпендикуляр к BC).
Площадь треугольника ABC ($S_{ABC}$) можно выразить как сумму площадей треугольников APB и CPB:
$S_{ABC} = S_{APB} + S_{CPB}$
Площадь треугольника APB: $S_{APB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot PD_1 = \frac{1}{2} b d_1$.
Площадь треугольника CPB: $S_{CPB} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot PD_2 = \frac{1}{2} b d_2$.
Таким образом, $S_{ABC} = \frac{1}{2} b d_1 + \frac{1}{2} b d_2 = \frac{1}{2} b (d_1 + d_2)$.
Теперь найдем численное значение площади $S_{ABC}$. Проведем высоту BM к основанию AC. M — середина AC.
$AM = \frac{AC}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ см}$.
В прямоугольном треугольнике AMB (с прямым углом M) по теореме Пифагора:
$BM^2 = AB^2 - AM^2$
$BM^2 = 4^2 - (2.5)^2 = 16 - 6.25 = 9.75$
$BM = \sqrt{9.75} = \sqrt{\frac{39}{4}} = \frac{\sqrt{39}}{2} \text{ см}$.
Площадь треугольника ABC:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{39}}{2} = \frac{5\sqrt{39}}{4} \text{ см}^2$.
Приравняем два выражения для площади:
$\frac{1}{2} b (d_1 + d_2) = S_{ABC}$
$\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (d_1 + d_2) = \frac{5\sqrt{39}}{4}$
$2 (d_1 + d_2) = \frac{5\sqrt{39}}{4}$
$d_1 + d_2 = \frac{5\sqrt{39}}{8} \text{ см}$.
В системе СИ: $d_1 + d_2 = \frac{5\sqrt{39}}{8} \text{ см} = \frac{5\sqrt{39}}{8} \cdot 0.01 \text{ м} = \frac{5\sqrt{39}}{800} \text{ м}$.
2. Найдем высоту, проведенную к боковой стороне. Пусть это высота AN, проведенная из вершины A к боковой стороне BC. $AN = h_b$.
Площадь треугольника ABC также может быть выражена как:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AN = \frac{1}{2} b h_b$.
Используем ранее найденное значение площади:
$\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot h_b = \frac{5\sqrt{39}}{4}$
$2 h_b = \frac{5\sqrt{39}}{4}$
$h_b = \frac{5\sqrt{39}}{8} \text{ см}$.
В системе СИ: $h_b = \frac{5\sqrt{39}}{8} \text{ см} = \frac{5\sqrt{39}}{8} \cdot 0.01 \text{ м} = \frac{5\sqrt{39}}{800} \text{ м}$.
3. Сравним полученные величины:
Сумма расстояний $d_1 + d_2 = \frac{5\sqrt{39}}{8} \text{ см}$.
Высота к боковой стороне $h_b = \frac{5\sqrt{39}}{8} \text{ см}$.
Таким образом, $d_1 + d_2 = h_b$. Это является известным свойством равнобедренного треугольника.

Ответ: Сумма расстояний от произвольной точки основания до боковых сторон равна $\frac{5\sqrt{39}}{8}$ см. Высота треугольника, проведенная к боковой стороне, также равна $\frac{5\sqrt{39}}{8}$ см. Эти величины равны.