Номер 262, страница 126 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

262. Найдите площадь равнобедренной трапеции:

а) большее основание которой 30 дм, боковая сторона 10 дм и угол при большем основании $45^\circ$;

б) с основаниями $a$ и $b$ ($a > b$) и углом $\beta$ при большем основании.

а) большее основание которой 30 дм, боковая сторона 10 дм и угол при большем основании 45°;

Дано:

большее основание $a = 30$ дм

боковая сторона $c = 10$ дм

угол при большем основании $\alpha = 45^\circ$

Трапеция равнобедренная

Перевод в СИ:

$a = 30 \text{ дм} = 3 \text{ м}$

$c = 10 \text{ дм} = 1 \text{ м}$

$\alpha = 45^\circ$

Найти:

Площадь $S$

Решение:

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ – основания трапеции, $h$ – высота.

Опустим из верхних вершин трапеции две высоты на большее основание. Пусть эти высоты делят большее основание $a$ на три отрезка: $x$, $b$, $x$. В равнобедренной трапеции эти отрезки $x$ равны.

Таким образом, $a = b + 2x$, откуда $b = a - 2x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $c$, высотой $h$ и отрезком $x$ на большем основании. Угол при основании этого треугольника равен $\alpha$.

Из свойств прямоугольного треугольника:

$x = c \cdot \cos \alpha$

$h = c \cdot \sin \alpha$

Подставим известные значения:

$x = 10 \text{ дм} \cdot \cos 45^\circ = 10 \text{ дм} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \text{ дм}$

$h = 10 \text{ дм} \cdot \sin 45^\circ = 10 \text{ дм} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \text{ дм}$

Теперь найдем меньшее основание $b$:

$b = a - 2x = 30 \text{ дм} - 2 \cdot (5\sqrt{2}) \text{ дм} = 30 - 10\sqrt{2} \text{ дм}$

Подставим значения $a$, $b$ и $h$ в формулу площади трапеции:

$S = \frac{30 + (30 - 10\sqrt{2})}{2} \cdot 5\sqrt{2}$

$S = \frac{60 - 10\sqrt{2}}{2} \cdot 5\sqrt{2}$

$S = (30 - 5\sqrt{2}) \cdot 5\sqrt{2}$

$S = 30 \cdot 5\sqrt{2} - 5\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}$

$S = 150\sqrt{2} - 25 \cdot 2$

$S = 150\sqrt{2} - 50$

Ответ: $150\sqrt{2} - 50 \text{ дм}^2$

б) с основаниями $a$ и $b$ $(a > b)$ и углом $\beta$ при большем основании.

Дано:

основания $a$, $b$ ($a > b$)

угол при большем основании $\beta$

Трапеция равнобедренная

Найти:

Площадь $S$

Решение:

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ – основания трапеции, $h$ – высота.

Опустим из верхних вершин трапеции две высоты на большее основание. Пусть эти высоты делят большее основание $a$ на три отрезка: $x$, $b$, $x$. В равнобедренной трапеции эти отрезки $x$ равны.

Таким образом, $a = b + 2x$, откуда $2x = a - b$, и $x = \frac{a-b}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой $h$ и отрезком $x$ на большем основании. Угол при основании этого треугольника равен $\beta$.

Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике:

$\tan \beta = \frac{h}{x}$

Отсюда выразим высоту $h$:

$h = x \cdot \tan \beta$

Подставим выражение для $x$:

$h = \frac{a-b}{2} \cdot \tan \beta$

Теперь подставим это выражение для $h$ в формулу площади трапеции:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot \left(\frac{a-b}{2} \cdot \tan \beta\right)$

$S = \frac{(a+b)(a-b)}{4} \cdot \tan \beta$

Используя формулу разности квадратов $(u+v)(u-v) = u^2 - v^2$, упростим выражение:

$S = \frac{a^2 - b^2}{4} \cdot \tan \beta$

Ответ: $S = \frac{a^2 - b^2}{4} \cdot \tan \beta$