Номер 255, страница 124 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

255. a) Длины параллельных сторон трапеции равны 25 дм и 4 дм, а длины непараллельных сторон – 20 дм и 13 дм. Найдите площадь трапеции.

б) Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 5 см и 19 см, а боковые стороны 13 см и 15 см.

a) Длины параллельных сторон трапеции равны 25 дм и 4 дм, а длины непараллельных сторон – 20 дм и 13 дм. Найдите площадь трапеции.

Дано:

основания трапеции: $a = 25$ дм, $b = 4$ дм
боковые стороны: $c = 20$ дм, $d = 13$ дм

Перевод в систему СИ:

$a = 25$ дм $= 2.5$ м
$b = 4$ дм $= 0.4$ м
$c = 20$ дм $= 2.0$ м
$d = 13$ дм $= 1.3$ м

Найти:

площадь трапеции $S$

Решение:

Площадь трапеции определяется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ - длины оснований, а $h$ - высота трапеции. Для нахождения высоты $h$, опустим две высоты из вершин меньшего основания на большее основание. Эти высоты делят большее основание на три отрезка. Пусть $x$ и $y$ - длины отрезков большего основания, примыкающих к боковым сторонам. Тогда $x + y = a - b$.

$a - b = 25 \text{ дм} - 4 \text{ дм} = 21 \text{ дм}$.
Пусть $x$ - проекция боковой стороны $c$ на большее основание, $y$ - проекция боковой стороны $d$.
Тогда $x + y = 21$. Выразим $y = 21 - x$.

Используем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников, образованных высотами и боковыми сторонами:
$h^2 + x^2 = c^2 \Rightarrow h^2 = c^2 - x^2$
$h^2 + y^2 = d^2 \Rightarrow h^2 = d^2 - y^2$

Подставим известные значения:
$h^2 = 20^2 - x^2 = 400 - x^2$
$h^2 = 13^2 - (21-x)^2 = 169 - (441 - 42x + x^2) = 169 - 441 + 42x - x^2 = 42x - x^2 - 272$

Приравняем выражения для $h^2$:
$400 - x^2 = 42x - x^2 - 272$
$400 = 42x - 272$
$42x = 400 + 272$
$42x = 672$
$x = \frac{672}{42}$
$x = 16$ дм

Теперь найдем высоту $h$:
$h^2 = 400 - x^2 = 400 - 16^2 = 400 - 256 = 144$
$h = \sqrt{144} = 12$ дм

Рассчитаем площадь трапеции:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{25 + 4}{2} \cdot 12 = \frac{29}{2} \cdot 12 = 29 \cdot 6 = 174$ дм$^2$

Ответ: 174 дм$^2$

б) Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 5 см и 19 см, а боковые стороны 13 см и 15 см.

Дано:

основания трапеции: $a = 19$ см, $b = 5$ см
боковые стороны: $c = 13$ см, $d = 15$ см

Перевод в систему СИ:

$a = 19$ см $= 0.19$ м
$b = 5$ см $= 0.05$ м
$c = 13$ см $= 0.13$ м
$d = 15$ см $= 0.15$ м

Найти:

площадь трапеции $S$

Решение:

Используем тот же подход. Разность длин оснований:
$a - b = 19 \text{ см} - 5 \text{ см} = 14 \text{ см}$.
Пусть $x$ - проекция боковой стороны $c$ на большее основание, $y$ - проекция боковой стороны $d$.
Тогда $x + y = 14$. Выразим $y = 14 - x$.

По теореме Пифагора:
$h^2 = c^2 - x^2$
$h^2 = d^2 - y^2$

Подставим известные значения:
$h^2 = 13^2 - x^2 = 169 - x^2$
$h^2 = 15^2 - (14-x)^2 = 225 - (196 - 28x + x^2) = 225 - 196 + 28x - x^2 = 29 + 28x - x^2$

Приравняем выражения для $h^2$:
$169 - x^2 = 29 + 28x - x^2$
$169 = 29 + 28x$
$28x = 169 - 29$
$28x = 140$
$x = \frac{140}{28}$
$x = 5$ см

Теперь найдем высоту $h$:
$h^2 = 169 - x^2 = 169 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
$h = \sqrt{144} = 12$ см

Рассчитаем площадь трапеции:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{19 + 5}{2} \cdot 12 = \frac{24}{2} \cdot 12 = 12 \cdot 12 = 144$ см$^2$

Ответ: 144 см$^2$