Номер 254, страница 123 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

254. a) Диагональ равнобедренной трапеции делит ее тупой угол пополам. Меньшее основание трапеции равно 3 м, периметр равен 42 м. Найдите площадь трапеции.

б) Найдите площадь (в гектарах) казахстанского природного заказника «Каратальские пески», если она равна площади трапеции, высота которой $0.8(6)$ м, а средняя линия $1.5 \cdot 10^7$ м.

Ботанический заказник «Каратальские пески»

а)

Дано:

Трапеция ABCD - равнобедренная.

Диагональ AC делит тупой угол C пополам: $\angle BCA = \angle DCA$.

Меньшее основание $CD = 3$ м.

Периметр $P = 42$ м.

Перевод в СИ:

Все величины уже даны в метрах, что соответствует системе СИ.

Найти:

Площадь трапеции $S_{ABCD}$.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AB и CD, где CD - меньшее основание.

По условию, диагональ AC делит тупой угол C пополам, то есть $\angle BCA = \angle DCA$.

Так как AB параллельно CD (основания трапеции), то углы $\angle DCA$ и $\angle CAB$ являются накрест лежащими, а значит, они равны: $\angle DCA = \angle CAB$.

Из равенств $\angle BCA = \angle DCA$ и $\angle DCA = \angle CAB$ следует, что $\angle BCA = \angle CAB$.

В треугольнике ABC углы при основании AC равны ($\angle BCA = \angle CAB$), следовательно, этот треугольник равнобедренный, и стороны, противолежащие этим углам, равны: $AB = BC$.

Поскольку трапеция ABCD равнобедренная, ее боковые стороны равны: $AD = BC$.

Таким образом, мы имеем $AD = BC = AB$.

Пусть $AD = BC = AB = x$.

Меньшее основание $CD = 3$ м.

Периметр трапеции $P = AB + BC + CD + AD = x + x + 3 + x = 3x + 3$.

По условию, периметр равен 42 м:

$3x + 3 = 42$

$3x = 42 - 3$

$3x = 39$

$x = \frac{39}{3} = 13$ м.

Итак, $AD = BC = AB = 13$ м. Большее основание $AB = 13$ м, меньшее основание $CD = 3$ м.

Для нахождения площади трапеции $S = \frac{(AB + CD)}{2} \cdot h$ нам нужна высота $h$.

Опустим высоты $CM$ и $DN$ из вершин C и D на основание AB.

В равнобедренной трапеции отрезки $AN$ и $MB$ равны:

$AN = MB = \frac{AB - CD}{2} = \frac{13 - 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$ м.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CMB. Гипотенуза $BC = 13$ м, катет $MB = 5$ м.

По теореме Пифагора: $CM^2 + MB^2 = BC^2$.

$h^2 + 5^2 = 13^2$

$h^2 + 25 = 169$

$h^2 = 169 - 25$

$h^2 = 144$

$h = \sqrt{144} = 12$ м.

Теперь найдем площадь трапеции:

$S_{ABCD} = \frac{(AB + CD)}{2} \cdot h = \frac{(13 + 3)}{2} \cdot 12 = \frac{16}{2} \cdot 12 = 8 \cdot 12 = 96$ м$^2$.

Ответ: 96 м$^2$.

б)

Дано:

Площадь заказника "Каратальские пески" равна площади трапеции.

Высота трапеции $h = 0.8(6)$ м.

Средняя линия трапеции $m = 1.5 \cdot 10^7$ м.

Перевод в СИ:

Высота $h = 0.8(6)$ м. Периодическую десятичную дробь преобразуем в обыкновенную:

$0.8(6) = 0.8666...$

Пусть $x = 0.8666...$

$10x = 8.666...$

$100x = 86.666...$

$100x - 10x = 86.666... - 8.666...$

$90x = 78$

$x = \frac{78}{90} = \frac{13}{15}$ м.

Средняя линия $m = 1.5 \cdot 10^7$ м.

Все величины уже даны в метрах, что соответствует системе СИ.

Найти:

Площадь заказника в гектарах ($S_{заказника}$).

Решение:

Площадь трапеции может быть найдена как произведение ее средней линии на высоту: $S = m \cdot h$.

Подставим известные значения:

$S = \left(1.5 \cdot 10^7 \text{ м}\right) \cdot \left(\frac{13}{15} \text{ м}\right)$

Представим $1.5$ как $\frac{3}{2}$:

$S = \left(\frac{3}{2} \cdot 10^7\right) \cdot \frac{13}{15}$

$S = \frac{3 \cdot 13}{2 \cdot 15} \cdot 10^7$

$S = \frac{39}{30} \cdot 10^7$

Сократим дробь $\frac{39}{30}$ на 3:

$S = \frac{13}{10} \cdot 10^7 = 1.3 \cdot 10^7$ м$^2$.

Площадь заказника равна этой площади. Нам нужно выразить ее в гектарах.

Известно, что 1 гектар (га) равен 10 000 квадратных метров ($10^4$ м$^2$).

$S_{заказника (\text{га})} = \frac{1.3 \cdot 10^7 \text{ м}^2}{10^4 \text{ м}^2/\text{га}}$

$S_{заказника (\text{га})} = 1.3 \cdot 10^{7-4} = 1.3 \cdot 10^3 = 1300$ га.

Ответ: 1300 га.