Номер 250, страница 121 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

250. a)

Площадь плана участка земли равна $552,25 \text{ см}^2$ (масштаб 1:10 000). Найдите площадь участка. Дайте ответ в гектарах.

б)

Участок заболоченной местности имеет форму четырехугольника. Как измерить его площадь, не вступая на него? (Задача древнегреческого математика Герона.)

а) Площадь плана участка земли равна 552,25 см² (масштаб 1:10 000). Найдите площадь участка. Дайте ответ в гектарах.

Дано:

Площадь плана: $S_{плана} = 552,25 \text{ см}^2$

Масштаб: $M = 1:10 \text{ 000}$

Перевод всех данных в систему СИ:

$S_{плана} = 552,25 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 552,25 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0,055225 \text{ м}^2$

Линейный коэффициент масштаба: $k = 10 \text{ 000}$

Найти:

Площадь участка ($S_{участка}$) в гектарах.

Решение:

Площадь участка на местности ($S_{участка}$) связана с площадью на плане ($S_{плана}$) и линейным коэффициентом масштаба ($k$) следующим соотношением:

$S_{участка} = S_{плана} \cdot k^2$

Подставляем известные значения:

$S_{участка} = 552,25 \text{ см}^2 \cdot (10 \text{ 000})^2$

$S_{участка} = 552,25 \text{ см}^2 \cdot 100 \text{ 000 000}$

$S_{участка} = 55 \text{ 225 000 000 см}^2$

Переведем полученную площадь в квадратные метры, зная, что $1 \text{ м}^2 = 10 \text{ 000 см}^2$:

$S_{участка} = \frac{55 \text{ 225 000 000}}{10 \text{ 000}} \text{ м}^2 = 5 \text{ 522 500 м}^2$

Затем переведем площадь в гектары, зная, что $1 \text{ га} = 10 \text{ 000 м}^2$:

$S_{участка} = \frac{5 \text{ 522 500}}{10 \text{ 000}} \text{ га} = 552,25 \text{ га}$

Ответ: 552,25 га

б) Участок заболоченной местности имеет форму четырехугольника. Как измерить его площадь, не вступая на него? (Задача древнегреческого математика Герона.)

Решение:

Для измерения площади заболоченного участка в форме четырехугольника, не ступая на него, можно использовать следующие геодезические или тригонометрические методы:

1. Метод разбиения на треугольники с измерением сторон и диагонали: Если периметр участка доступен для измерений (т.е. можно ходить вдоль края, но не по самому болоту), то можно измерить длины всех четырех сторон четырехугольника и длину одной из его диагоналей (например, от вершины A до C). Это разделит четырехугольник на два треугольника. Площадь каждого треугольника можно вычислить с помощью формулы Герона, зная длины всех трех его сторон. Затем площади двух треугольников суммируются для получения общей площади четырехугольника.

Формула Герона для площади треугольника со сторонами $a, b, c$ и полупериметром $s = (a+b+c)/2$ выглядит так:

$S_{треугольника} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

2. Метод триангуляции из внешней точки: Если даже периметр участка полностью недоступен или измерение диагонали затруднено, можно выбрать точку (P) вне участка, с которой видны все четыре вершины четырехугольника (A, B, C, D). Из этой точки измеряются:

• Расстояния от точки P до каждой вершины участка (PA, PB, PC, PD). Это можно сделать с помощью лазерного дальномера или методом построения базовой линии и угловых измерений.
• Углы между лучами зрения, идущими из точки P к соседним вершинам (например, $\angle APB$, $\angle BPC$, $\angle CPD$, $\angle DPA$).

После этого площадь каждого из четырех треугольников (PAB, PBC, PCD, PDA), образованных вершинами участка и точкой P, можно вычислить по формуле: $S = \frac{1}{2}ab \sin C$, где $a$ и $b$ - измеренные расстояния от P до вершин, а $C$ - измеренный угол между ними. Сумма площадей этих треугольников даст общую площадь четырехугольника. Этот метод позволяет измерить площадь абсолютно недоступного участка.

Ответ: Площадь можно измерить методом разбиения на треугольники с применением формулы Герона (если периметр доступен), либо методом триангуляции из внешней точки с измерением расстояний и углов до вершин.