Номер 259, страница 124 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

259. a) Разделите трапецию на две равновеликие трапеции прямой, пересекающей ее основания. Сколько решений имеет задача?

б) Равновеликие $\triangle ABC$ и $\triangle MNK$ расположены так, что равные отрезки $AC$ и $MK$ лежат на одной прямой, а треугольники в одной полуплоскости относительно нее. Прямая, параллельная данной прямой, пересекает стороны $\triangle ABC$ в точках $D$ и $F$, а $\triangle MNK$ – в точках $E$ и $O$. Докажите, что $DF = EO$.

a) Разделите трапецию на две равновеликие трапеции прямой, пересекающей ее основания. Сколько решений имеет задача?

Для того чтобы прямая разделила трапецию на две другие трапеции, эта прямая должна быть параллельна основаниям исходной трапеции. Если прямая не параллельна основаниям, то она разделит трапецию на многоугольники, которые не являются обеими трапециями (например, на треугольник и пятиугольник, или на два четырехугольника, один из которых может быть трапецией, а другой нет, или ни один из них).

Пусть $a$ и $b$ - длины оснований трапеции, и $h$ - ее высота. Площадь трапеции $S = \frac{a+b}{2}h$.

Пусть искомая прямая, параллельная основаниям, имеет длину $x$. Она делит трапецию на две новые трапеции с высотами $h_1$ и $h_2$, где $h_1+h_2=h$.

Площадь первой трапеции $S_1 = \frac{a+x}{2}h_1$.

Площадь второй трапеции $S_2 = \frac{x+b}{2}h_2$.

По условию, $S_1 = S_2 = \frac{S}{2} = \frac{a+b}{4}h$.

Используя свойство трапеции, разрезанной параллельной линией, отношение высот $h_1$ и $h_2$ к полным высотам можно выразить через длины оснований. Более удобным является соотношение для длин оснований.

Приравнивая площади $S_1$ и $S_2$:
$\frac{a+x}{2}h_1 = \frac{x+b}{2}h_2$
$(a+x)h_1 = (x+b)h_2$

Также известно, что для отрезка $x$, параллельного основаниям $a$ и $b$ и делящего трапецию на две равновеликие трапеции, длина $x$ определяется формулой:

$x = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

Это значение $x$ является единственным положительным корнем данного уравнения, и оно всегда находится между $a$ и $b$.
Поскольку длина $x$ однозначно определяется длинами оснований $a$ и $b$, и существует только одна прямая, параллельная основаниям, которая проходит через трапецию и имеет такую длину, то такая прямая является единственной. Таким образом, задача имеет только одно решение.

Ответ: Задача имеет одно решение.

б) Равновеликие $\Delta ABC$ и $\Delta MNK$ расположены так, что равные отрезки $AC$ и $MK$ лежат на одной прямой, а треугольники в одной полуплоскости относительно нее. Прямая, параллельная данной прямой, пересекает стороны $\Delta ABC$ в точках $D$ и $F$, а $\Delta MNK$ – в точках $E$ и $O$. Докажите, что $DF = EO$.

Дано:

Треугольники $\Delta ABC$ и $\Delta MNK$ равновеликие, то есть $S_{\Delta ABC} = S_{\Delta MNK}$.

Отрезки $AC$ и $MK$ равны: $AC = MK$.

Отрезки $AC$ и $MK$ лежат на одной прямой.

Треугольники расположены в одной полуплоскости относительно этой прямой.

Прямая $l$ параллельна прямой, на которой лежат $AC$ и $MK$.

Прямая $l$ пересекает стороны $\Delta ABC$ в точках $D$ и $F$ (причем $D$ на $AB$, $F$ на $BC$).

Прямая $l$ пересекает стороны $\Delta MNK$ в точках $E$ и $O$ (причем $E$ на $MN$, $O$ на $NK$).

Найти:

Доказать, что $DF = EO$.

Решение:

Пусть прямая, на которой лежат отрезки $AC$ и $MK$, является общей базовой линией. Так как треугольники $\Delta ABC$ и $\Delta MNK$ равновеликие ($S_{\Delta ABC} = S_{\Delta MNK}$) и имеют равные основания ($AC = MK$), то их высоты, проведенные к этим основаниям, также должны быть равны. Обозначим эту общую высоту через $h$. Таким образом, расстояние от вершины $B$ до прямой $AC$ равно $h$, и расстояние от вершины $N$ до прямой $MK$ также равно $h$. Поскольку оба треугольника расположены в одной полуплоскости относительно этой прямой, вершины $B$ и $N$ находятся на одинаковом расстоянии $h$ от общей базовой линии и по одну сторону от нее.

Прямая $l$ параллельна общей базовой линии $ACMK$. Она пересекает стороны $\Delta ABC$ в точках $D$ и $F$. Поскольку $DF$ параллелен $AC$ (как часть прямой $l$, которая параллельна $ACMK$), то $\Delta BDF$ подобен $\Delta BAC$.

Пусть $h_1$ - высота $\Delta BDF$, проведенная из вершины $B$ к стороне $DF$. Это расстояние от вершины $B$ до прямой $l$.

Из подобия треугольников $\Delta BDF \sim \Delta BAC$ следует отношение соответствующих сторон:

$\frac{DF}{AC} = \frac{h_1}{h}$

Отсюда, $DF = AC \cdot \frac{h_1}{h}$.

Аналогично, прямая $l$ пересекает стороны $\Delta MNK$ в точках $E$ и $O$. Поскольку $EO$ параллелен $MK$, то $\Delta NEO$ подобен $\Delta NMK$.

Пусть $h_2$ - высота $\Delta NEO$, проведенная из вершины $N$ к стороне $EO$. Это расстояние от вершины $N$ до прямой $l$.

Из подобия треугольников $\Delta NEO \sim \Delta NMK$ следует отношение соответствующих сторон:

$\frac{EO}{MK} = \frac{h_2}{h}$

Отсюда, $EO = MK \cdot \frac{h_2}{h}$.

Так как вершины $B$ и $N$ находятся на одинаковой высоте $h$ от общей базовой линии $ACMK$, и прямая $l$ параллельна этой базовой линии, то расстояние от прямой $l$ до вершины $B$ ($h_1$) равно расстоянию от прямой $l$ до вершины $N$ ($h_2$). Это потому, что если прямая $ACMK$ это $y=0$, а вершины $B$ и $N$ имеют $y$-координату $h$, и прямая $l$ имеет $y$-координату $y_l$ (где $0 < y_l < h$), то $h_1 = h - y_l$ и $h_2 = h - y_l$. Следовательно, $h_1 = h_2$.

Теперь, используя равенства $AC = MK$ (дано) и $h_1 = h_2$ (доказано), подставим их в выражения для $DF$ и $EO$:

$DF = AC \cdot \frac{h_1}{h}$

$EO = MK \cdot \frac{h_2}{h}$

Поскольку $AC = MK$ и $h_1 = h_2$, то $\frac{h_1}{h} = \frac{h_2}{h}$. Таким образом, $AC \cdot \frac{h_1}{h} = MK \cdot \frac{h_2}{h}$, что означает $DF = EO$.

Ответ: Доказано.