Номер 257, страница 124 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

257. a) Докажите, что, если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то ее площадь равна квадрату высоты трапеции.

б) Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее диагонали перпендикулярны и основания равны 6 см и 10 см.

в) Дан четырехугольник $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$. Докажите, что если площади треугольников $AOB$ и $COD$ равны, а его стороны $AD$ и $BC$ не равны, то этот четырехугольник является трапецией.

а) Докажите, что, если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то ее площадь равна квадрату высоты трапеции.

Решение

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD = a$ и $BC = b$. Пусть $h$ - высота трапеции. Диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны и пересекаются в точке $O$.

В равнобедренной трапеции диагонали равны: $AC = BD$.

Так как диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, то $\angle AOD = 90^\circ$ и $\angle BOC = 90^\circ$.

Поскольку трапеция равнобедренная, треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ являются равнобедренными прямоугольными треугольниками. Это следует из того, что в равнобедренной трапеции углы при основании равны ($\angle DAB = \angle CDA$), и, учитывая параллельность оснований, углы $\angle OAD = \angle ODA$ (так как $\angle CAD = \angle ADB$ для равнобедренной трапеции). Аналогично, $\angle OBC = \angle OCB$. Таким образом, $AO = OD$ и $BO = OC$.

Проведем высоту $h$ трапеции через точку пересечения диагоналей $O$. Эта высота будет отрезком $MN$, где $M$ - середина $AD$, а $N$ - середина $BC$. ($MN$ является осью симметрии трапеции и проходит через $O$).

В прямоугольном треугольнике $AOD$ (с прямым углом при $O$) медиана $OM$ (к гипотенузе $AD$) равна половине гипотенузы: $OM = \frac{1}{2} AD = \frac{a}{2}$.

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $BOC$ (с прямым углом при $O$) медиана $ON$ (к гипотенузе $BC$) равна половине гипотенузы: $ON = \frac{1}{2} BC = \frac{b}{2}$.

Высота трапеции $h$ равна сумме этих отрезков: $h = OM + ON = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} = \frac{a+b}{2}$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} h$.

Подставим выражение для $h$ в формулу площади:

$S = h \cdot h = h^2$.

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями равна квадрату ее высоты.

Ответ: Доказано.

б) Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее диагонали перпендикулярны и основания равны 6 см и 10 см.

Дано:

Равнобедренная трапеция $ABCD$.

Диагонали перпендикулярны.

Основания: $a = 10 \text{ см}$, $b = 6 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$a = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$b = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

$S$

Решение

Из части а) данной задачи известно, что для равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота $h$ равна полусумме оснований, то есть $h = \frac{a+b}{2}$.

Подставим данные значения:

$h = \frac{10 \text{ см} + 6 \text{ см}}{2} = \frac{16 \text{ см}}{2} = 8 \text{ см}$.

Также из части а) известно, что площадь такой трапеции равна квадрату ее высоты: $S = h^2$.

Вычислим площадь:

$S = (8 \text{ см})^2 = 64 \text{ см}^2$.

Ответ: $64 \text{ см}^2$.

в) Дан четырехугольник $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$. Докажите, что если площади треугольников $AOB$ и $COD$ равны, а его стороны $AD$ и $BC$ не равны, то этот четырехугольник является трапецией.

Решение

Пусть дан четырехугольник $ABCD$, диагонали $AC$ и $BD$ которого пересекаются в точке $O$.

Дано, что $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle COD}$.

Рассмотрим площади треугольников $ABD$ и $ACD$.

Площадь треугольника $ABD$ равна сумме площадей треугольников $AOB$ и $AOD$: $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle AOD}$.

Площадь треугольника $ACD$ равна сумме площадей треугольников $COD$ и $AOD$: $S_{\triangle ACD} = S_{\triangle COD} + S_{\triangle AOD}$.

Так как $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle COD}$ по условию, то, подставив $S_{\triangle AOB}$ вместо $S_{\triangle COD}$ во второе равенство, получим:

$S_{\triangle ACD} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle AOD}$.

Таким образом, площади треугольников $ABD$ и $ACD$ равны: $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$.

Эти два треугольника имеют общую сторону $AD$.

Если два треугольника имеют одинаковое основание и равные площади, то их высоты, опущенные на это основание, должны быть равны.

Пусть $h_B$ - высота, опущенная из вершины $B$ на сторону $AD$, и $h_C$ - высота, опущенная из вершины $C$ на сторону $AD$.

Тогда $S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_B$ и $S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_C$.

Поскольку $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$, то $\frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_B = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_C$.

Поскольку $AD$ является стороной четырехугольника, $AD \neq 0$. Следовательно, из равенства $\frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_B = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_C$ следует, что $h_B = h_C$.

Равенство высот, опущенных из $B$ и $C$ на сторону $AD$, означает, что точки $B$ и $C$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой, содержащей отрезок $AD$. Это возможно только в том случае, если прямые $AD$ и $BC$ параллельны.

По определению, четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, является трапецией. Условие $AD \neq BC$ лишь указывает, что это не параллелограмм, но параллелограмм является частным случаем трапеции. Доказательство параллельности сторон $AD$ и $BC$ является достаточным для утверждения, что четырехугольник является трапецией.

Ответ: Доказано.