Номер 266, страница 127 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

266. Найдите:

а) площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны по 6 см, а большой угол – $135^\circ$;

б) с точностью до 0,1 см² площадь трапеции, основания которой равны 14 см и 10 см, а углы при большем основании – $30^\circ$ и $45^\circ$.

а) площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны по 6 см, а больший угол – 135°

Дано:

трапеция: прямоугольная

меньшие стороны: $h = 6 \text{ см}$, $b = 6 \text{ см}$ (высота и меньшее основание)

больший угол: $\beta = 135^\circ$

Перевод в СИ:

$h = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$b = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

площадь трапеции $S_a$

Решение

обозначим меньшее основание трапеции как $b$, высоту как $h$, большее основание как $a$.

по условию, две меньшие стороны трапеции равны 6 см. в прямоугольной трапеции это обычно высота и меньшее основание. пусть $h = 6 \text{ см}$ и $b = 6 \text{ см}$.

больший угол трапеции равен $135^\circ$. в прямоугольной трапеции это угол, прилежащий к меньшему основанию и неперпендикулярной боковой стороне.

сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. если один угол равен $135^\circ$, то прилежащий к нему угол при большем основании равен $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

проведем высоту из вершины меньшего основания на большее основание. пусть эта высота делит большее основание на две части. одна часть равна меньшему основанию $b$, а другая часть является катетом прямоугольного треугольника, образованного высотой, боковой стороной и частью большего основания.

обозначим эту часть большего основания как $x$. в этом прямоугольном треугольнике высота $h$ является одним катетом, а $x$ - другим катетом. угол при большем основании равен $45^\circ$.

поскольку угол равен $45^\circ$, то это равнобедренный прямоугольный треугольник, следовательно, $x = h$.

поскольку $h = 6 \text{ см}$, то $x = 6 \text{ см}$.

большее основание $a = b + x$.

$a = 6 \text{ см} + 6 \text{ см} = 12 \text{ см}$.

площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$.

$S_a = \frac{12 \text{ см} + 6 \text{ см}}{2} \cdot 6 \text{ см} = \frac{18 \text{ см}}{2} \cdot 6 \text{ см} = 9 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 54 \text{ см}^2$.

Ответ:

54 см$^2$.

б) с точностью до 0,1 см² площадь трапеции, основания которой равны 14 см и 10 см, а углы при большем основании – 30° и 45°

Дано:

основания трапеции: $a = 14 \text{ см}$, $b = 10 \text{ см}$

углы при большем основании: $\alpha_1 = 30^\circ$, $\alpha_2 = 45^\circ$

Перевод в СИ:

$a = 14 \text{ см} = 0.14 \text{ м}$

$b = 10 \text{ см} = 0.10 \text{ м}$

Найти:

площадь трапеции $S_b$ с точностью до $0.1 \text{ см}^2$

Решение

обозначим большее основание трапеции как $a$, меньшее основание как $b$, и высоту как $h$.

дано: $a = 14 \text{ см}$, $b = 10 \text{ см}$. углы при большем основании равны $30^\circ$ и $45^\circ$.

проведем две высоты из вершин меньшего основания на большее основание. эти высоты образуют два прямоугольных треугольника по краям трапеции и прямоугольник посередине.

пусть $x_1$ и $x_2$ — отрезки, на которые высоты делят большее основание по краям.

тогда $a = x_1 + b + x_2$.

подставляем известные значения: $14 \text{ см} = x_1 + 10 \text{ см} + x_2$, откуда $x_1 + x_2 = 14 \text{ см} - 10 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

в одном из прямоугольных треугольников угол при основании равен $30^\circ$. высота $h$ является противолежащим катетом к этому углу, а $x_1$ — прилежащим катетом.

по определению тангенса, $\tan(30^\circ) = \frac{h}{x_1}$. следовательно, $x_1 = \frac{h}{\tan(30^\circ)} = \frac{h}{1/\sqrt{3}} = h\sqrt{3}$.

в другом прямоугольном треугольнике угол при основании равен $45^\circ$. высота $h$ является противолежащим катетом, а $x_2$ — прилежащим.

$\tan(45^\circ) = \frac{h}{x_2}$. следовательно, $x_2 = \frac{h}{\tan(45^\circ)} = \frac{h}{1} = h$.

теперь подставим выражения для $x_1$ и $x_2$ в уравнение $x_1 + x_2 = 4$:

$h\sqrt{3} + h = 4$

вынесем $h$ за скобки:

$h(\sqrt{3} + 1) = 4$

найдем высоту $h$:

$h = \frac{4}{\sqrt{3} + 1}$

чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3} - 1)$:

$h = \frac{4(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{4(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \frac{4(\sqrt{3} - 1)}{2} = 2(\sqrt{3} - 1)$ см.

приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.73205$.

$h \approx 2(1.73205 - 1) = 2(0.73205) = 1.4641$ см.

площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$.

$S_b = \frac{14 \text{ см} + 10 \text{ см}}{2} \cdot 2(\sqrt{3} - 1) \text{ см}$.

$S_b = \frac{24 \text{ см}}{2} \cdot 2(\sqrt{3} - 1) \text{ см} = 12 \text{ см} \cdot 2(\sqrt{3} - 1) \text{ см} = 24(\sqrt{3} - 1) \text{ см}^2$.

вычислим численное значение:

$S_b \approx 24(1.73205 - 1) = 24(0.73205) = 17.5692 \text{ см}^2$.

округлим до $0.1$ см$^2$: $S_b \approx 17.6 \text{ см}^2$.

Ответ:

17.6 см$^2$.