Номер 284, страница 134 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

284. Докажите, что треугольник с вершинами $A(-4; -1)$, $B(2; -9)$, $C(7; 1)$ – равнобедренный и найдите длину его биссектрисы, проведенной к основанию.

Дано:

Вершины треугольника: $A(-4; -1)$, $B(2; -9)$, $C(7; 1)$.

Найти:

1. Доказать, что треугольник $ABC$ равнобедренный. 2. Найти длину биссектрисы, проведенной к основанию.

Решение

Доказательство того, что треугольник равнобедренный

Для доказательства того, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, необходимо вычислить длины всех его сторон, используя формулу расстояния между двумя точками $P_1(x_1, y_1)$ и $P_2(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Вычислим длину стороны $AB$: $AB = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (-9 - (-1))^2} = \sqrt{(2 + 4)^2 + (-9 + 1)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Вычислим длину стороны $BC$: $BC = \sqrt{(7 - 2)^2 + (1 - (-9))^2} = \sqrt{5^2 + (1 + 9)^2} = \sqrt{5^2 + 10^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$.

Вычислим длину стороны $AC$: $AC = \sqrt{(7 - (-4))^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{(7 + 4)^2 + (1 + 1)^2} = \sqrt{11^2 + 2^2} = \sqrt{121 + 4} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$.

Так как $BC = AC = 5\sqrt{5}$, то треугольник $ABC$ является равнобедренным. Основанием равнобедренного треугольника является сторона $AB$. Биссектриса будет проведена из вершины $C$ к основанию $AB$.

Ответ: Треугольник $ABC$ равнобедренный, так как $BC = AC$.

Нахождение длины биссектрисы, проведенной к основанию

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, также является медианой и высотой. Найдем координаты середины основания $AB$, обозначим ее как $M$. Координаты середины отрезка $P_1(x_1, y_1)$ и $P_2(x_2, y_2)$ вычисляются по формуле: $M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$.

Для отрезка $AB$ с точками $A(-4; -1)$ и $B(2; -9)$: $M_x = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$. $M_y = \frac{-1 + (-9)}{2} = \frac{-10}{2} = -5$. Таким образом, координаты точки $M$ - $(-1; -5)$.

Теперь вычислим длину биссектрисы $CM$, используя формулу расстояния между точками $C(7; 1)$ и $M(-1; -5)$: $CM = \sqrt{(-1 - 7)^2 + (-5 - 1)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.

Ответ: Длина биссектрисы, проведенной к основанию, равна $10$.

Ответ

Треугольник $ABC$ равнобедренный, так как длины его сторон $AC = BC = 5\sqrt{5}$, а длина основания $AB = 10$. Длина биссектрисы, проведенной к основанию $AB$ из вершины $C$, равна $10$.