Номер 280, страница 134 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

280. Дан треугольник с вершинами $A(-5; -2)$, $B(-1; 4)$, $C(5; -4)$.

Найдите длины медиан этого треугольника.

Дано:

Вершины треугольника: $A(-5; -2)$, $B(-1; 4)$, $C(5; -4)$.

Найти:

Длины медиан этого треугольника ($m_a, m_b, m_c$).

Решение:

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Для нахождения длин медиан, нам необходимо вычислить координаты середин сторон, а затем найти расстояние между соответствующей вершиной и этой серединой.

Формула для нахождения координат середины отрезка с концами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $M\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$.

Формула для нахождения расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

1. Длина медианы $m_a$ (из вершины A к стороне BC):

Найдем координаты середины $D$ стороны $BC$:

$x_D = \frac{x_B+x_C}{2} = \frac{-1+5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_D = \frac{y_B+y_C}{2} = \frac{4+(-4)}{2} = \frac{0}{2} = 0$

Таким образом, $D(2; 0)$.

Теперь найдем длину медианы $AD$ ($m_a$):

$m_a = AD = \sqrt{(x_D-x_A)^2 + (y_D-y_A)^2}$

$m_a = \sqrt{(2-(-5))^2 + (0-(-2))^2}$

$m_a = \sqrt{(2+5)^2 + (0+2)^2}$

$m_a = \sqrt{7^2 + 2^2}$

$m_a = \sqrt{49 + 4}$

$m_a = \sqrt{53}$

2. Длина медианы $m_b$ (из вершины B к стороне AC):

Найдем координаты середины $E$ стороны $AC$:

$x_E = \frac{x_A+x_C}{2} = \frac{-5+5}{2} = \frac{0}{2} = 0$

$y_E = \frac{y_A+y_C}{2} = \frac{-2+(-4)}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Таким образом, $E(0; -3)$.

Теперь найдем длину медианы $BE$ ($m_b$):

$m_b = BE = \sqrt{(x_E-x_B)^2 + (y_E-y_B)^2}$

$m_b = \sqrt{(0-(-1))^2 + (-3-4)^2}$

$m_b = \sqrt{(0+1)^2 + (-7)^2}$

$m_b = \sqrt{1^2 + 49}$

$m_b = \sqrt{1 + 49}$

$m_b = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

3. Длина медианы $m_c$ (из вершины C к стороне AB):

Найдем координаты середины $F$ стороны $AB$:

$x_F = \frac{x_A+x_B}{2} = \frac{-5+(-1)}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$y_F = \frac{y_A+y_B}{2} = \frac{-2+4}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Таким образом, $F(-3; 1)$.

Теперь найдем длину медианы $CF$ ($m_c$):

$m_c = CF = \sqrt{(x_F-x_C)^2 + (y_F-y_C)^2}$

$m_c = \sqrt{(-3-5)^2 + (1-(-4))^2}$

$m_c = \sqrt{(-8)^2 + (1+4)^2}$

$m_c = \sqrt{(-8)^2 + 5^2}$

$m_c = \sqrt{64 + 25}$

$m_c = \sqrt{89}$

Ответ:

Длины медиан треугольника: $m_a = \sqrt{53}$, $m_b = 5\sqrt{2}$, $m_c = \sqrt{89}$.