Вопросы, страница 120 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

2. По какой формуле можно найти площадь выпуклого четырехугольника, если известны его диагонали и угол между ними?

1. Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Решение

Пусть дан ромб $ABCD$ с диагоналями $AC$ и $BD$, которые пересекаются в точке $O$. Обозначим длины диагоналей как $d_1 = AC$ и $d_2 = BD$.

Известно, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Следовательно, $AO = OC = \frac{d_1}{2}$ и $BO = OD = \frac{d_2}{2}$, а угол $\angle AOB = 90^\circ$.

Площадь ромба $ABCD$ может быть представлена как сумма площадей двух треугольников: $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$. Диагональ $BD$ является общим основанием для этих двух треугольников.

Высота треугольника $\triangle ABD$, опущенная на основание $BD$, это отрезок $AO$.

Тогда площадь $\triangle ABD$ равна: $S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AO = \frac{1}{2} \cdot d_2 \cdot \frac{d_1}{2} = \frac{d_1 d_2}{4}$.

Аналогично, высота треугольника $\triangle BCD$, опущенная на основание $BD$, это отрезок $OC$.

Тогда площадь $\triangle BCD$ равна: $S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot OC = \frac{1}{2} \cdot d_2 \cdot \frac{d_1}{2} = \frac{d_1 d_2}{4}$.

Общая площадь ромба $S_{ABCD}$ равна сумме площадей этих двух треугольников:

$S_{ABCD} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle BCD} = \frac{d_1 d_2}{4} + \frac{d_1 d_2}{4} = \frac{2 d_1 d_2}{4} = \frac{d_1 d_2}{2}$.

Таким образом, доказано, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Ответ: Доказано.

2. По какой формуле можно найти площадь выпуклого четырехугольника, если известны его диагонали и угол между ними?

Решение

Площадь $S$ выпуклого четырехугольника, если известны длины его диагоналей $d_1$ и $d_2$, а также угол $\alpha$ между ними, можно найти по следующей формуле:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\alpha)$

где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырехугольника, а $\alpha$ — величина любого из двух смежных углов между этими диагоналями. (Примечание: синусы смежных углов равны, то есть $\sin(\alpha) = \sin(180^\circ - \alpha)$).

Ответ: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\alpha)$.