Номер 235, страница 117 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

235. a) Найдите большую высоту треугольника, если его стороны 9 см, 10 см, 17 см.

б) Существует ли треугольник, высоты которого равны 2 см, 3 см и 4 см?

a)

Дано
Стороны треугольника: $a = 9 \text{ см}$, $b = 10 \text{ см}$, $c = 17 \text{ см}$.

Перевод в СИ
$a = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$
$b = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$
$c = 17 \text{ см} = 0.17 \text{ м}$

Найти
Большую высоту треугольника $h_{max}$.

Решение
Для нахождения большей высоты треугольника, необходимо сначала вычислить его площадь. Наибольшая высота проведена к наименьшей стороне. Стороны треугольника $a = 9 \text{ см}$, $b = 10 \text{ см}$, $c = 17 \text{ см}$. Наименьшая сторона — $a = 9 \text{ см}$.
Воспользуемся формулой Герона для нахождения площади $S$. Сначала найдем полупериметр $s$:
$s = \frac{a + b + c}{2}$
$s = \frac{9 \text{ см} + 10 \text{ см} + 17 \text{ см}}{2} = \frac{36 \text{ см}}{2} = 18 \text{ см}$
Теперь вычислим площадь $S$ по формуле Герона:
$S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$
$S = \sqrt{18(18 - 9)(18 - 10)(18 - 17)}$
$S = \sqrt{18 \times 9 \times 8 \times 1}$
$S = \sqrt{1296}$
$S = 36 \text{ см}^2$
Площадь треугольника также может быть выражена как $S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$. Чтобы найти большую высоту, мы должны использовать наименьшую сторону в качестве основания. В нашем случае это сторона $a = 9 \text{ см}$.
$S = \frac{1}{2} a h_a$
Отсюда высота $h_a = \frac{2S}{a}$
$h_a = \frac{2 \times 36 \text{ см}^2}{9 \text{ см}} = \frac{72 \text{ см}^2}{9 \text{ см}} = 8 \text{ см}$
Таким образом, большая высота треугольника равна $8 \text{ см}$.

Ответ: $8 \text{ см}$

б)

Решение
Пусть высоты треугольника $h_a = 2 \text{ см}$, $h_b = 3 \text{ см}$, $h_c = 4 \text{ см}$.
Из формулы площади треугольника $S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b = \frac{1}{2} c h_c$ можем выразить стороны треугольника через его площадь $S$ и соответствующие высоты:
$a = \frac{2S}{h_a} = \frac{2S}{2} = S$
$b = \frac{2S}{h_b} = \frac{2S}{3}$
$c = \frac{2S}{h_c} = \frac{2S}{4} = \frac{S}{2}$
Для того чтобы треугольник существовал, его стороны должны удовлетворять неравенству треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть строго больше длины третьей стороны.
Проверим неравенства:
1. $a + b > c$:
$S + \frac{2S}{3} > \frac{S}{2}$
Разделим все члены неравенства на $S$ (поскольку площадь $S$ всегда положительна):
$1 + \frac{2}{3} > \frac{1}{2}$
$\frac{3}{3} + \frac{2}{3} > \frac{1}{2}$
$\frac{5}{3} > \frac{1}{2}$ (это истинно, так как $1.66... > 0.5$)
2. $a + c > b$:
$S + \frac{S}{2} > \frac{2S}{3}$
$1 + \frac{1}{2} > \frac{2}{3}$
$\frac{2}{2} + \frac{1}{2} > \frac{2}{3}$
$\frac{3}{2} > \frac{2}{3}$ (это истинно, так как $1.5 > 0.66...$)
3. $b + c > a$:
$\frac{2S}{3} + \frac{S}{2} > S$
$\frac{2}{3} + \frac{1}{2} > 1$
Приведем к общему знаменателю (6):
$\frac{4}{6} + \frac{3}{6} > 1$
$\frac{7}{6} > 1$ (это истинно, так как $1.166... > 1$)
Все три неравенства треугольника выполняются. Следовательно, такой треугольник существует.

Ответ: Да, такой треугольник существует.