Номер 236, страница 118 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

236. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если основание его равно 12 см, а длина высоты, проведенной к основанию, равна длине отрезка, соединяющего середины основания и боковой стороны.

Дано:

Равнобедренный треугольник ABC.

Основание $AC = a = 12 \text{ см}$.

Высота к основанию $BM = h_a$ (M - середина AC).

K - середина боковой стороны $AB$.

$h_a = MK$ (длина отрезка, соединяющего середины основания и боковой стороны).

Перевод в СИ:

$a = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$.

Найти:

Площадь треугольника $S$.

Решение:

Пусть в равнобедренном треугольнике ABC основание AC равно $a$, а боковые стороны AB и BC равны $b$.

Высота, проведенная к основанию, BM делит основание пополам, поэтому $AM = MC = a/2$.

По условию задачи, $a = 12 \text{ см}$, значит $MC = 12/2 = 6 \text{ см}$.

Высота к основанию $h_a = BM$.

Отрезок, соединяющий середины основания AC (точка M) и боковой стороны AB (точка K), является средней линией треугольника ABC.

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

Таким образом, отрезок MK является средней линией, соединяющей середины AC и AB, и он равен половине стороны BC: $MK = BC/2$.

Поскольку $BC = b$, то $MK = b/2$.

По условию задачи, высота $h_a$ равна длине отрезка MK:

$h_a = MK \Rightarrow h_a = b/2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BMC, образованный высотой BM.

В этом треугольнике катеты $BM = h_a$ и $MC = 6 \text{ см}$, а гипотенуза $BC = b$.

По теореме Пифагора:

$BM^2 + MC^2 = BC^2$

Подставим известные значения и выражения:

$(b/2)^2 + 6^2 = b^2$

$b^2/4 + 36 = b^2$

Вычтем $b^2/4$ из обеих частей уравнения:

$36 = b^2 - b^2/4$

$36 = \frac{4b^2 - b^2}{4}$

$36 = 3b^2/4$

Умножим обе части на 4 и разделим на 3:

$b^2 = \frac{36 \cdot 4}{3}$

$b^2 = 12 \cdot 4$

$b^2 = 48$

Найдем $b$:

$b = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \text{ см}$.

Теперь найдем высоту $h_a$:

$h_a = b/2 = (4\sqrt{3})/2 = 2\sqrt{3} \text{ см}$.

Площадь треугольника S вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$

$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \text{ см} \cdot 2\sqrt{3} \text{ см}$

$S = 6 \cdot 2\sqrt{3}$

$S = 12\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ:

$12\sqrt{3} \text{ см}^2$.