Номер 239, страница 118 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

239.

a) Разделите параллелограмм прямой, проходящей через его вершину, на два многоугольника, площади которых относятся как $1 : 2$.

б) Постройте параллелограмм с данным острым углом, равновеликий данному треугольнику. (Задача из «Начал» Евклида.)

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Выберем одну из его вершин, например, вершину $A$.Для того чтобы разделить параллелограмм прямой, проходящей через вершину $A$, на два многоугольника, площади которых относятся как $1:2$, необходимо провести прямую из вершины $A$ к точке на одной из противолежащих сторон, которая делит эту сторону в определенном отношении.Рассмотрим сторону $CD$, противолежащую вершине $A$. Проведем прямую из вершины $A$ к точке $P$ на стороне $CD$.В результате образуются два многоугольника: треугольник $\triangle ADP$ и трапеция $ABCP$.Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $S_{ABCD}$. Пусть $h$ — высота параллелограмма, опущенная на сторону $CD$. Тогда $S_{ABCD} = CD \cdot h$.Площадь треугольника $\triangle ADP$ равна $S_{\triangle ADP} = \frac{1}{2} \cdot DP \cdot h$.Площадь трапеции $ABCP$ равна $S_{ABCP} = S_{ABCD} - S_{\triangle ADP} = CD \cdot h - \frac{1}{2} \cdot DP \cdot h$.По условию задачи, отношение площадей должно быть $1:2$. Возможны два случая:

1) $S_{\triangle ADP} : S_{ABCP} = 1:2$.
Это означает, что $S_{\triangle ADP} = \frac{1}{3} S_{ABCD}$ и $S_{ABCP} = \frac{2}{3} S_{ABCD}$.
Подставим выражения для площадей:
$\frac{1}{2} \cdot DP \cdot h = \frac{1}{3} \cdot CD \cdot h$
Сокращаем $h$ (поскольку $h \ne 0$):
$\frac{1}{2} \cdot DP = \frac{1}{3} \cdot CD$
$DP = \frac{2}{3} CD$
Таким образом, точка $P$ должна делить сторону $CD$ так, чтобы отрезок $DP$ составлял две трети длины $CD$.

2) $S_{ABCP} : S_{\triangle ADP} = 1:2$.
Это означает, что $S_{ABCP} = \frac{1}{3} S_{ABCD}$ и $S_{\triangle ADP} = \frac{2}{3} S_{ABCD}$.
Из $S_{\triangle ADP} = \frac{2}{3} S_{ABCD}$ получаем $\frac{1}{2} DP \cdot h = \frac{2}{3} CD \cdot h$, что приводит к $DP = \frac{4}{3} CD$. Это невозможно, так как точка $P$ должна лежать на отрезке $CD$.

Итак, единственное решение — это когда $DP = \frac{2}{3} CD$.Аналогично, если прямая проводится из вершины $A$ к точке $Q$ на стороне $BC$ (противолежащей $A$ и $D$), то образуются треугольник $\triangle ABQ$ и трапеция $AQCD$.Если $S_{\triangle ABQ} : S_{AQCD} = 1:2$, то $S_{\triangle ABQ} = \frac{1}{3} S_{ABCD}$. Пусть $h'$ — высота параллелограмма, опущенная на сторону $AB$. Тогда $S_{ABCD} = AB \cdot h'$.Площадь треугольника $\triangle ABQ = \frac{1}{2} \cdot BQ \cdot h'$.$\frac{1}{2} \cdot BQ \cdot h' = \frac{1}{3} \cdot AB \cdot h'$$\frac{1}{2} \cdot BQ = \frac{1}{3} \cdot AB$$BQ = \frac{2}{3} AB$

Следовательно, для разделения параллелограмма прямой, проходящей через его вершину, на два многоугольника с отношением площадей $1:2$, необходимо провести эту прямую из выбранной вершины к точке на одной из противолежащих сторон, которая делит эту сторону в отношении $2:1$ от смежной вершины.

Ответ: Для разделения параллелограмма прямой, проходящей через одну из его вершин, например $A$, на два многоугольника, площади которых относятся как $1:2$, необходимо провести прямую из вершины $A$ к точке $P$ на противолежащей стороне (например, $CD$), так, чтобы $DP = \frac{2}{3}CD$. В результате образуются треугольник $\triangle ADP$ и трапеция $ABCP$, площади которых будут относиться как $1:2$.

Дано:

Треугольник $ABC$.

Острый угол $\alpha$.

Найти:

Построить параллелограмм, площадь которого равна площади треугольника $ABC$, и один из углов которого равен $\alpha$.

Решение:

Построение основывается на задаче 42 из Книги I «Начал» Евклида, которая гласит: «Построить на данном прямолинейном отрезке параллелограмм, равновеликий данному треугольнику и имеющий данный угол.» В нашем случае, «данный прямолинейный отрезок» может быть половиной одной из сторон треугольника.

Алгоритм построения:

1. Пусть дан треугольник $ABC$. Выберем одну из его сторон, например $BC$, и найдем ее середину. Пусть это будет точка $D$.

2. Проведем прямую $l$ через вершину $A$ (противоположную стороне $BC$) параллельно стороне $BC$.

3. В точке $D$ построим угол, равный данному острому углу $\alpha$. Для этого от луча $DC$ отложим угол $\angle CDF = \alpha$, где точка $F$ лежит на прямой $l$.

4. Через точку $C$ проведем прямую $CG$ параллельно прямой $DF$. Эта прямая $CG$ пересечет прямую $l$ в точке $G$.

5. Четырехугольник $DFGC$ является искомым параллелограммом.

Доказательство:

1. Треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle ABD$ имеют равные площади, так как у них общее основание $BC$, разделенное точкой $D$ пополам ($BD=DC$), и общая высота, опущенная из вершины $A$ на $BC$. Следовательно, $S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC}$.

2. Параллелограмм $DFGC$ имеет основание $DC$. Высота параллелограмма $DFGC$ относительно основания $DC$ — это перпендикулярное расстояние между параллельными прямыми $BC$ и $l$ (на которой лежит $FG$). Это расстояние равно высоте $\triangle ADC$ от вершины $A$ до основания $DC$. Обозначим эту высоту $h_{DC}$.

3. Площадь параллелограмма $DFGC$ равна $S_{DFGC} = DC \cdot h_{DC}$.

4. Площадь треугольника $\triangle ADC$ равна $S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} DC \cdot h_{DC}$.

5. Из пунктов 3 и 4 следует, что $S_{DFGC} = 2 \cdot S_{\triangle ADC}$.

6. Из пунктов 1 и 5 следует, что $S_{DFGC} = 2 \cdot (\frac{1}{2} S_{\triangle ABC}) = S_{\triangle ABC}$. Таким образом, построенный параллелограмм $DFGC$ равновелик данному треугольнику $ABC$.

7. По построению, угол $\angle CDF = \alpha$. Поскольку $DFGC$ является параллелограммом, его противоположный угол $\angle CGF$ также равен $\alpha$, а смежные углы (например, $\angle FGC$ и $\angle DFG$) равны $180^\circ - \alpha$. Так как $\alpha$ является острым углом, параллелограмм $DFGC$ имеет угол, равный $\alpha$.

Ответ: Для построения параллелограмма с заданным острым углом, равновеликого данному треугольнику $ABC$:
1. Найдите середину $D$ одной из сторон треугольника (например, $BC$).
2. Проведите прямую $l$ через вершину $A$ (противоположную стороне $BC$) параллельно $BC$.
3. В точке $D$ постройте угол, равный заданному острому углу $\alpha$, так, чтобы одна из сторон угла лежала на $BC$ (например, $DC$), а другая сторона пересекала прямую $l$ в точке $F$.
4. Из точки $C$ проведите прямую $CG$ параллельно $DF$ до пересечения с прямой $l$ в точке $G$.
5. Четырехугольник $DFGC$ является искомым параллелограммом, так как его площадь равна площади треугольника $ABC$, и один из его углов равен $\alpha$.