Номер 232, страница 117 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

232. a) Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведенную из вершины его прямого угла, если гипотенуза равна 13 см, а один из катетов 5 см.

б) Найдите площадь прямоугольного треугольника, в котором высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки, равные 4,8 см и 1,2 см.

a) Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведенную из вершины его прямого угла, если гипотенуза равна 13 см, а один из катетов 5 см.

Дано:

гипотенуза $c = 13$ см

катет $a = 5$ см

Перевод в СИ:

$c = 13$ см $= 0.13$ м

$a = 5$ см $= 0.05$ м

Найти:

высота $h_c$

Решение:

Пусть второй катет прямоугольного треугольника равен $b$. По теореме Пифагора:

$a^2 + b^2 = c^2$

$5^2 + b^2 = 13^2$

$25 + b^2 = 169$

$b^2 = 169 - 25$

$b^2 = 144$

$b = \sqrt{144}$

$b = 12$ см

Площадь прямоугольного треугольника может быть найдена по формуле $S = \frac{1}{2}ab$ (половина произведения катетов) или по формуле $S = \frac{1}{2}ch_c$ (половина произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней). Приравняем эти выражения для площади:

$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch_c$

$ab = ch_c$

Отсюда выразим высоту $h_c$:

$h_c = \frac{ab}{c}$

Подставляем известные значения:

$h_c = \frac{5 \text{ см} \times 12 \text{ см}}{13 \text{ см}}$

$h_c = \frac{60}{13}$ см

Ответ:

$h_c = \frac{60}{13}$ см

б) Найдите площадь прямоугольного треугольника, в котором высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки, равные 4,8 см и 1,2 см.

Дано:

отрезок гипотенузы $c_1 = 4.8$ см

отрезок гипотенузы $c_2 = 1.2$ см

Перевод в СИ:

$c_1 = 4.8$ см $= 0.048$ м

$c_2 = 1.2$ см $= 0.012$ м

Найти:

площадь треугольника $S$

Решение:

Высота $h_c$, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, является средним геометрическим отрезков, на которые она делит гипотенузу:

$h_c^2 = c_1 \times c_2$

$h_c^2 = 4.8 \text{ см} \times 1.2 \text{ см}$

$h_c^2 = 5.76 \text{ см}^2$

$h_c = \sqrt{5.76}$ см

$h_c = 2.4$ см

Длина всей гипотенузы $c$ равна сумме отрезков, на которые ее делит высота:

$c = c_1 + c_2$

$c = 4.8 \text{ см} + 1.2 \text{ см}$

$c = 6.0$ см

Площадь прямоугольного треугольника может быть найдена по формуле $S = \frac{1}{2}ch_c$:

$S = \frac{1}{2} \times 6.0 \text{ см} \times 2.4 \text{ см}$

$S = 3.0 \text{ см} \times 2.4 \text{ см}$

$S = 7.2 \text{ см}^2$

Ответ:

$S = 7.2$ см$^2$