Номер 238, страница 118 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

238. Существуют ли два треугольника таких, что длина каждой стороны первого треугольника меньше 1 см, а длина каждой стороны второго треугольника больше 1 м, но площадь первого больше площади второго треугольника? Если существуют, то приведите пример.

Дано:

Для первого треугольника $T_1$: длины сторон $a_1, b_1, c_1 < 1 \text{ см}$.Для второго треугольника $T_2$: длины сторон $a_2, b_2, c_2 > 1 \text{ м}$.

Перевод в систему СИ:

$1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Для $T_1$: $a_1, b_1, c_1 < 0.01 \text{ м}$.Для $T_2$: $a_2, b_2, c_2 > 1 \text{ м}$.

Найти:

Существуют ли такие два треугольника, что площадь первого больше площади второго треугольника ($S_1 > S_2$)? Если существуют, привести пример.

Решение:

Для ответа на вопрос необходимо показать, что это возможно, приведя конкретный пример двух таких треугольников. Для этого мы выберем первый треугольник с максимально возможной площадью, а второй треугольник — с минимально возможной площадью, при соблюдении всех заданных условий.

Выбор первого треугольника ($T_1$)

Чтобы получить максимально возможную площадь для первого треугольника, у которого все стороны строго меньше $1 \text{ см}$, выберем равносторонний треугольник, стороны которого очень близки к $1 \text{ см}$, но строго меньше. Пусть длина каждой стороны $T_1$ равна $a_1 = 0.99 \text{ см}$.$a_1 = 0.99 \text{ см} = 0.0099 \text{ м}$.Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$.$S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} (0.0099 \text{ м})^2$.$S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 0.00009801 \text{ м}^2$.$S_1 \approx 0.43301 \times 0.00009801 \text{ м}^2$.$S_1 \approx 0.00004248 \text{ м}^2$.

Выбор второго треугольника ($T_2$)

Чтобы получить минимально возможную площадь для второго треугольника, у которого все стороны строго больше $1 \text{ м}$, выберем его максимально "плоским", т.е. близким к вырожденному, но остающимся строго невырожденным. Это достигается, когда сумма двух сторон лишь незначительно превышает третью сторону.Пусть две стороны $T_2$ будут $a_2 = 1.000001 \text{ м}$ и $b_2 = 1.000001 \text{ м}$. Обе длины строго больше $1 \text{ м}$.Тогда третья сторона $c_2$ должна быть строго больше $1 \text{ м}$ и строго меньше суммы $a_2+b_2 = 1.000001 + 1.000001 = 2.000002 \text{ м}$.Чтобы минимизировать площадь, выберем $c_2$ очень близкой к этой сумме, например, $c_2 = 2.00000199999999999999999 \text{ м}$. Это значение строго больше $1 \text{ м}$.Проверим условия существования треугольника:$a_2 + b_2 = 1.000001 + 1.000001 = 2.000002 > c_2 = 2.00000199999999999999999$ (верно).$a_2 + c_2 = 1.000001 + 2.00000199999999999999999 > b_2 = 1.000001$ (верно).$b_2 + c_2 = 1.000001 + 2.00000199999999999999999 > a_2 = 1.000001$ (верно).Таким образом, такой треугольник существует.Вычислим его площадь по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.$p = \frac{1.000001 + 1.000001 + 2.00000199999999999999999}{2} = \frac{4.00000399999999999999999}{2} = 2.000001999999999999999995 \text{ м}$.$p - a_2 = 2.000001999999999999999995 - 1.000001 = 1.000000999999999999999995 \text{ м}$.$p - b_2 = 1.000000999999999999999995 \text{ м}$.$p - c_2 = 2.000001999999999999999995 - 2.00000199999999999999999 = 0.000000000000000000000005 \text{ м}$.$S_2 = \sqrt{2.000001999999999999999995 \times (1.000000999999999999999995)^2 \times 0.000000000000000000000005}$.$S_2 \approx \sqrt{2 \times 1^2 \times 5 \times 10^{-24}} \text{ м}^2$.$S_2 \approx \sqrt{10 \times 10^{-25}} = \sqrt{10^{-24}} = 10^{-12} \text{ м}^2$.Точное значение: $S_2 \approx 3.162 \times 10^{-12} \text{ м}^2$.

Сравнение площадей S₁ и S₂

Площадь первого треугольника: $S_1 \approx 0.00004248 \text{ м}^2$.Площадь второго треугольника: $S_2 \approx 0.000000000003162 \text{ м}^2$.

Очевидно, что $0.00004248 \text{ м}^2 > 0.000000000003162 \text{ м}^2$.Следовательно, площадь первого треугольника может быть больше площади второго треугольника.

Ответ: Да, существуют.