Номер 234, страница 117 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

234. Найдите площадь равнобедренного треугольника:

а) боковая сторона которого равна 2,5 дм, а угол между боковыми сторонами равен $135^\circ$;

б) высота которого, проведенная к боковой стороне, делит ее на отрезки, равные 3 см и 12 см.

а) боковая сторона которого равна 2,5 дм, а угол между боковыми сторонами равен 135°;

Дано:

Боковая сторона $a = 2.5 \text{ дм}$

Угол между боковыми сторонами $\alpha = 135^\circ$

Перевод в СИ:

$a = 2.5 \text{ дм} = 0.25 \text{ м}$

Найти:

Площадь треугольника $S$

Решение:

Площадь треугольника, заданного двумя сторонами и углом между ними, вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

Для равнобедренного треугольника боковые стороны равны, то есть $a=b$. Угол между боковыми сторонами $\alpha$ является углом между этими равными сторонами. Следовательно, формула площади принимает вид:

$S = \frac{1}{2}a^2\sin\alpha$

Подставим известные значения:

$a = 2.5 \text{ дм}$

$\alpha = 135^\circ$

Значение синуса угла $135^\circ$ можно найти как $\sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Вычисляем площадь:

$S = \frac{1}{2} (2.5 \text{ дм})^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 6.25 \text{ дм}^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$S = \frac{6.25\sqrt{2}}{4} \text{ дм}^2$

Приблизительное значение, используя $\sqrt{2} \approx 1.4142$:

$S \approx \frac{6.25 \cdot 1.4142}{4} \text{ дм}^2$

$S \approx \frac{8.83875}{4} \text{ дм}^2$

$S \approx 2.2096875 \text{ дм}^2$

Ответ: $2.2097 \text{ дм}^2$

б) высота которого, проведенная к боковой стороне, делит ее на отрезки, равные 3 см и 12 см.

Дано:

Высота, проведенная к боковой стороне, делит ее на отрезки $x_1 = 3$ см и $x_2 = 12$ см.

Перевод в СИ:

$x_1 = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

$x_2 = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Площадь треугольника $S$

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, где $AB = AC = a$ - боковые стороны. Пусть высота $BH$ проведена из вершины $B$ к боковой стороне $AC$, а $H$ - основание этой высоты на стороне $AC$.

Условие "делит ее на отрезки, равные 3 см и 12 см" означает, что основание высоты $H$ лежит на самой боковой стороне $AC$, и сумма длин этих отрезков равна длине боковой стороны.

Длина боковой стороны $a = AH + HC = 3 \text{ см} + 12 \text{ см} = 15 \text{ см}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. Гипотенуза этого треугольника - боковая сторона $AB = 15$ см. Катет $AH$ может быть равен 3 см или 12 см. Примем, что $AH = 3$ см. Тогда высота $BH$ является вторым катетом.

По теореме Пифагора для $\triangle ABH$:

$BH^2 + AH^2 = AB^2$

$BH^2 + (3 \text{ см})^2 = (15 \text{ см})^2$

$BH^2 + 9 = 225$

$BH^2 = 225 - 9$

$BH^2 = 216$

$BH = \sqrt{216} = \sqrt{36 \cdot 6} = 6\sqrt{6} \text{ см}$

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В данном случае, основание - это боковая сторона $AC = 15$ см, а высота - $BH = 6\sqrt{6}$ см.

$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$

$S = \frac{1}{2} \cdot 15 \text{ см} \cdot 6\sqrt{6} \text{ см}$

$S = 15 \cdot 3\sqrt{6} \text{ см}^2$

$S = 45\sqrt{6} \text{ см}^2$

Приблизительное значение, используя $\sqrt{6} \approx 2.4495$:

$S \approx 45 \cdot 2.44948974 \text{ см}^2$

$S \approx 110.227038 \text{ см}^2$

Ответ: $45\sqrt{6} \text{ см}^2$