Номер 229, страница 116 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

229.

a) Докажите, что медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника.

б) Отрезки $AM$ и $BK$ – медианы $\triangle ABC$. Докажите, что площади треугольников $AMB$ и $ABK$ равны.

в) Сравните площадь равностороннего треугольника, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, с суммой площадей двух равносторонних треугольников, построенных на его катетах.

a) Докажите, что медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника.

Дано: Треугольник $ABC$. $AD$ — медиана, то есть точка $D$ — середина стороны $BC$.

Найти: Доказать, что $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$.

Решение

Пусть $h_A$ — высота треугольника $ABC$, опущенная из вершины $A$ на сторону $BC$. Эта высота является также высотой для треугольников $ABD$ и $ACD$, проведенной к сторонам $BD$ и $DC$ соответственно.

Формула площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Площадь треугольника $ABD$: $S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot h_A$.

Площадь треугольника $ACD$: $S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot h_A$.

По определению медианы, точка $D$ является серединой отрезка $BC$, следовательно, $BD = DC$.

Подставим $BD = DC$ в формулы площадей:

$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot h_A$

$S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot h_A$ (так как $DC = BD$)

Отсюда следует, что $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$.

Ответ: Доказано. Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника.

б) Отрезки $AM$ и $BK$ – медианы $\triangle ABC$. Докажите, что площади треугольников $AMB$ и $ABK$ равны.

Дано: Треугольник $ABC$. $AM$ — медиана к стороне $BC$. $BK$ — медиана к стороне $AC$.

Найти: Доказать, что $S_{\triangle AMB} = S_{\triangle ABK}$.

Решение

По доказанному в пункте a), медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

1. Рассмотрим медиану $AM$. Она делит треугольник $ABC$ на два треугольника $ABM$ и $ACM$, площади которых равны:

$S_{\triangle ABM} = S_{\triangle ACM} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC}$.

2. Рассмотрим медиану $BK$. Она делит треугольник $ABC$ на два треугольника $ABK$ и $CBK$, площади которых равны:

$S_{\triangle ABK} = S_{\triangle CBK} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC}$.

Из этих двух равенств следует, что:

$S_{\triangle AMB} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC}$

$S_{\triangle ABK} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC}$

Следовательно, $S_{\triangle AMB} = S_{\triangle ABK}$.

Ответ: Доказано. Площади треугольников $AMB$ и $ABK$ равны.

в) Сравните площадь равностороннего треугольника, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, с суммой площадей двух равносторонних треугольников, построенных на его катетах.

Дано: Прямоугольный треугольник с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$.

На сторонах $a$, $b$, $c$ построены равносторонние треугольники.

Найти: Сравнить площадь равностороннего треугольника на гипотенузе ($S_c$) с суммой площадей равносторонних треугольников на катетах ($S_a + S_b$).

Решение

Для прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

Формула площади равностороннего треугольника со стороной $x$: $S = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$.

1. Площадь равностороннего треугольника, построенного на катете $a$:

$S_a = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$.

2. Площадь равностороннего треугольника, построенного на катете $b$:

$S_b = \frac{\sqrt{3}}{4} b^2$.

3. Площадь равностороннего треугольника, построенного на гипотенузе $c$:

$S_c = \frac{\sqrt{3}}{4} c^2$.

Рассмотрим сумму площадей равносторонних треугольников, построенных на катетах:

$S_a + S_b = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{\sqrt{3}}{4} b^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (a^2 + b^2)$.

Согласно теореме Пифагора, $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим это в выражение для суммы площадей:

$S_a + S_b = \frac{\sqrt{3}}{4} c^2$.

Сравнивая это с площадью $S_c$, мы видим, что:

$S_c = S_a + S_b$.

Ответ: Площадь равностороннего треугольника, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей двух равносторонних треугольников, построенных на его катетах.