Вопросы, страница 115 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Сформулируйте и докажите теорему о площади параллелограмма.

2. Сформулируйте и докажите теорему о площади треугольника.

3. По какой формуле можно найти площадь: а) треугольника, если известны две его стороны и угол между ними; б) параллелограмма, если известны две его соседние стороны и угол между ними?

1. Сформулируйте и докажите теорему о площади параллелограмма.

Формулировка:

Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны на длину высоты, проведенной к этой стороне.

Математически: $S = a \cdot h_a$, где $a$ — длина стороны параллелограмма (основания), $h_a$ — длина высоты, проведенной к этой стороне.

Доказательство:

Рассмотрим произвольный параллелограмм $ABCD$. Пусть длина стороны $AD = a$. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к прямой, содержащей сторону $AD$, и высоту $CK$ из вершины $C$ к той же прямой. Обозначим длину этих высот как $h_a$ (поскольку $BC \parallel AD$, высоты, опущенные из $B$ и $C$ на прямую $AD$, равны).

Таким образом, мы построили прямоугольник $HBCK$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$.

• Гипотенузы: $AB = DC$ (как противоположные стороны параллелограмма).
• Катеты: $BH = CK = h_a$ (как высоты, проведенные между параллельными прямыми).

Следовательно, $\triangle ABH \cong \triangle DCK$ (по гипотенузе и катету). Это означает, что площади этих треугольников равны: $S_{\triangle ABH} = S_{\triangle DCK}$.

Площадь параллелограмма $ABCD$ можно выразить как:

$S_{ABCD} = S_{HBCD} + S_{\triangle ABH}$ (если угол $A$ острый, то точка $H$ лежит на отрезке $AD$).

Площадь прямоугольника $HBCK$ можно выразить как:

$S_{HBCK} = S_{HBCD} + S_{\triangle DCK}$.

Поскольку $S_{\triangle ABH} = S_{\triangle DCK}$, то из этих двух выражений следует, что $S_{ABCD} = S_{HBCK}$.

Площадь прямоугольника $HBCK$ равна произведению его сторон: $S_{HBCK} = HK \cdot BH$.

В прямоугольнике $HBCK$ сторона $HK$ равна $BC$ (как противоположные стороны прямоугольника). А так как $BC = AD$ (противоположные стороны параллелограмма), то $HK = AD = a$.

Таким образом, $S_{ABCD} = a \cdot h_a$.

(Примечание: если угол $A$ тупой, то точка $H$ лежит вне отрезка $AD$, и рассуждения приводят к тому же результату: $S_{ABCD} = S_{HBCD} - S_{\triangle ABH}$, $S_{HBCK} = S_{HBCD} - S_{\triangle DCK}$, и поскольку площади треугольников равны, то и площади параллелограмма и прямоугольника равны.)

Ответ:

$S = a \cdot h_a$

2. Сформулируйте и докажите теорему о площади треугольника.

Формулировка:

Площадь треугольника равна половине произведения длины его стороны на длину высоты, проведенной к этой стороне.

Математически: $S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$, где $a$ — длина стороны треугольника, $h_a$ — длина высоты, проведенной к этой стороне.

Доказательство:

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Пусть длина стороны $BC = a$. Проведем высоту $AH$ из вершины $A$ к стороне $BC$, так что $AH = h_a$.

Достроим треугольник $ABC$ до параллелограмма $ABDC$. Для этого проведем через вершину $A$ прямую, параллельную $BC$, а через вершину $C$ — прямую, параллельную $AB$. Точка их пересечения будет вершиной $D$, образующей параллелограмм $ABDC$.

Диагональ $AC$ делит параллелограмм $ABDC$ на два равных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle DCB$. (Они равны по трем сторонам: $AB=DC$, $BC=DB$ (не $DB$, а $AD$ is not part of parallelogram $ABDC$), $BC$ is common side of $ABC$ and $DCB$ is wrong. The parallelogram is $ABDC$. $AB=DC$, $BD=AC$, $BC$ is common. No, this construction is wrong. The parallelogram would be $ABCD$ where $AD$ is parallel to $BC$ and $CD$ is parallel to $AB$.)

Давайте используем стандартное построение для доказательства:

Достроим треугольник $ABC$ до параллелограмма $ABCE$. Для этого проведем через вершину $A$ прямую, параллельную $BC$, а через вершину $C$ — прямую, параллельную $AB$. Точка их пересечения будет вершиной $D$. Таким образом, мы получаем параллелограмм $ABCD$.

Диагональ $AC$ делит параллелограмм $ABCD$ на два конгруэнтных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$. (Они равны по трем сторонам: $AB = CD$, $BC = DA$, $AC$ — общая сторона).

Поскольку эти треугольники равны, их площади также равны: $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle CDA}$.

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна сумме площадей этих двух треугольников:

$S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle CDA} = 2 \cdot S_{\triangle ABC}$.

Из теоремы о площади параллелограмма (доказанной выше) известно, что площадь параллелограмма равна произведению длины его основания на высоту, проведенную к этому основанию. Для параллелограмма $ABCD$ с основанием $BC = a$ и высотой $AH = h_a$ (которая является также высотой треугольника $ABC$):

$S_{ABCD} = BC \cdot AH = a \cdot h_a$.

Подставляя это выражение в равенство $S_{ABCD} = 2 \cdot S_{\triangle ABC}$, получаем:

$a \cdot h_a = 2 \cdot S_{\triangle ABC}$.

Отсюда следует:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} a \cdot h_a$.

Ответ:

$S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$

3. По какой формуле можно найти площадь:

а) треугольника, если известны две его стороны и угол между ними;

Пусть известны две стороны треугольника $a$ и $b$, и угол $\gamma$ между ними.

Площадь треугольника по базовой формуле: $S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$.

Если $h_a$ — высота, проведенная к стороне $a$, то из прямоугольного треугольника, образованного высотой, стороной $b$ и частью стороны $a$, можно выразить $h_a$ через сторону $b$ и угол $\gamma$:

$h_a = b \sin \gamma$.

Подставляя это выражение для $h_a$ в формулу площади, получаем:

$S = \frac{1}{2} a b \sin \gamma$.

Ответ:

$S = \frac{1}{2} a b \sin \gamma$

б) параллелограмма, если известны две его соседние стороны и угол между ними?

Пусть известны две соседние стороны параллелограмма $a$ и $b$, и угол $\alpha$ между ними.

Площадь параллелограмма по базовой формуле: $S = a \cdot h_a$, где $a$ — длина одной из сторон, $h_a$ — высота, проведенная к этой стороне.

Высоту $h_a$ можно выразить через соседнюю сторону $b$ и угол $\alpha$ между ними:

$h_a = b \sin \alpha$.

Подставляя это выражение для $h_a$ в формулу площади, получаем:

$S = a b \sin \alpha$.

Ответ:

$S = a b \sin \alpha$