Номер 218, страница 111 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

218. Сторона прямоугольника равна $a$, а угол между этой стороной и диагональю равен $\beta$. Найдите площадь прямоугольника, если:

а) $a = 6 \text{ см}$, $\beta = 30^\circ$;

б) $a = 5 \text{ см}$, $\beta = 44^\circ$ (укажите ответ с точностью до $0,1 \text{ см}^2$).

Дано:

Прямоугольник со стороной $a$ и углом $\beta$ между стороной $a$ и диагональю.

Найти:

Площадь прямоугольника $S$.

Решение:

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Диагональ $d$ вместе со сторонами $a$ и $b$ образует прямоугольный треугольник. В этом треугольнике сторона $a$ является прилежащим катетом к углу $\beta$, а сторона $b$ – противолежащим катетом.

Для прямоугольного треугольника справедливо соотношение для тангенса угла:

$\tan(\beta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$

В нашем случае:

$\tan(\beta) = \frac{b}{a}$

Отсюда выразим сторону $b$:

$b = a \cdot \tan(\beta)$

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение его сторон:

$S = a \cdot b$

Подставим выражение для $b$ в формулу площади:

$S = a \cdot (a \cdot \tan(\beta))$

$S = a^2 \cdot \tan(\beta)$

Теперь применим эту формулу для заданных значений.

а)

Дано:

$a = 6$ см

$\beta = 30^\circ$

Перевод в систему СИ:

$a = 6 \cdot 10^{-2}$ м

$\beta = 30 \cdot \frac{\pi}{180}$ рад $= \frac{\pi}{6}$ рад

Найти:

$S$ (в см$^2$ с точностью до 0,1 см$^2$)

Решение:

Используем выведенную формулу для площади:

$S = a^2 \cdot \tan(\beta)$

$S = (6 \text{ см})^2 \cdot \tan(30^\circ)$

Известно, что $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$:

$S = 36 \text{ см}^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$

$S = \frac{36}{\sqrt{3}} \text{ см}^2$

Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$S = \frac{36\sqrt{3}}{3} \text{ см}^2 = 12\sqrt{3} \text{ см}^2$

Вычислим приближенное значение, используя $\sqrt{3} \approx 1.73205$:

$S \approx 12 \cdot 1.73205 \text{ см}^2 \approx 20.7846 \text{ см}^2$

Округлим результат до 0,1 см$^2$:

$S \approx 20.8 \text{ см}^2$

Ответ: 20.8 см$^2$

б)

Дано:

$a = 5$ см

$\beta = 44^\circ$

Перевод в систему СИ:

$a = 5 \cdot 10^{-2}$ м

$\beta = 44 \cdot \frac{\pi}{180}$ рад

Найти:

$S$ (в см$^2$ с точностью до 0,1 см$^2$)

Решение:

Используем выведенную формулу для площади:

$S = a^2 \cdot \tan(\beta)$

$S = (5 \text{ см})^2 \cdot \tan(44^\circ)$

$S = 25 \text{ см}^2 \cdot \tan(44^\circ)$

Вычислим приближенное значение $\tan(44^\circ) \approx 0.965626$:

$S \approx 25 \cdot 0.965626 \text{ см}^2 \approx 24.14065 \text{ см}^2$

Округлим результат до 0,1 см$^2$:

$S \approx 24.1 \text{ см}^2$

Ответ: 24.1 см$^2$