Практическое задание, страница 112 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

Постройте параллелограмм $ABCD$ и проведите его высоты $BH$ и $BK$ к его сторонам $AD$ и $CD$ соответственно. Измерьте $BH$, $BK$, $AD$ и $CD$. Сравните произведения $AD \cdot BH$ и $CD \cdot BK$.

Построение параллелограмма и высот

1. Построим произвольный параллелограмм $ABCD$. Для этого нарисуем отрезок $AD$. Из точки $A$ проведем еще один отрезок $AB$ под любым углом, не равным $0^\circ$ или $180^\circ$. Затем из точки $D$ проведем луч, параллельный $AB$, а из точки $B$ — луч, параллельный $AD$. Точка их пересечения будет вершиной $C$.
2. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к стороне $AD$. Для этого из точки $B$ опустим перпендикуляр на прямую, содержащую сторону $AD$. Основание этого перпендикуляра обозначим как $H$. В зависимости от угла $A$, точка $H$ может лежать либо на отрезке $AD$ (если $\angle A$ острый), либо на его продолжении (если $\angle A$ тупой).
3. Аналогично проведем высоту $BK$ из вершины $B$ к стороне $CD$. Опустим перпендикуляр из точки $B$ на прямую, содержащую сторону $CD$. Основание перпендикуляра обозначим как $K$.
4. Далее необходимо измерить длины сторон $AD$, $CD$ и высот $BH$, $BK$ с помощью линейки. Поскольку мы выполняем задачу теоретически, приведем примерные значения, которые могли бы получиться при измерении.
Пусть измерения дали следующие результаты:
$AD = 6$ см
$CD = 4$ см
$BH = 3$ см
$BK = 4.5$ см

Ответ: В результате построения и измерения (на конкретном примере) получены следующие значения: $AD = 6$ см, $CD = 4$ см, $BH = 3$ см, $BK = 4.5$ см.

Сравнение произведений AD ⋅ BH и CD ⋅ BK

Теперь сравним произведения длин сторон на соответствующие им высоты, используя данные нашего примера.
1. Вычислим произведение $AD \cdot BH$:
$AD \cdot BH = 6 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 18 \text{ см}^2$.
2. Вычислим произведение $CD \cdot BK$:
$CD \cdot BK = 4 \text{ см} \cdot 4.5 \text{ см} = 18 \text{ см}^2$.
Как видим, полученные произведения равны: $18 \text{ см}^2 = 18 \text{ см}^2$.

Этот результат является закономерностью. Площадь параллелограмма ($S$) вычисляется по формуле "произведение основания на высоту".
Если в качестве основания взять сторону $AD$, то соответствующей высотой будет $BH$, и площадь равна:
$S = AD \cdot BH$
Если же в качестве основания взять сторону $CD$, то соответствующей высотой будет $BK$, и площадь того же самого параллелограмма будет равна:
$S = CD \cdot BK$
Так как обе формулы выражают площадь одной и той же фигуры, то значения этих произведений должны быть равны:
$AD \cdot BH = CD \cdot BK$
При реальных измерениях на бумаге результаты могут незначительно отличаться из-за погрешностей построения и измерения.

Ответ: Произведения $AD \cdot BH$ и $CD \cdot BK$ равны, так как каждое из них равно площади параллелограмма $ABCD$.