Номер 216, страница 111 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

216. В прямоугольнике $ABCD$ со сторонами $AB = 4 \text{ дм}$, $AD = 8 \text{ дм}$ проведены биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне. Определите, на какие части делится площадь прямоугольника этими биссектрисами.

Дано:

Прямоугольник $ABCD$.

Сторона $AB = 4$ дм.

Сторона $AD = 8$ дм.

Проведены биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне.

Перевод в СИ:

$AB = 4 \text{ дм} = 0.4 \text{ м}$

$AD = 8 \text{ дм} = 0.8 \text{ м}$

Найти:

Площади частей, на которые биссектрисы делят прямоугольник.

Решение:

1. В прямоугольнике $ABCD$ все углы равны $90^\circ$. Большая сторона — $AD = 8$ дм. Углы, прилежащие к большей стороне $AD$, это $\angle A$ и $\angle D$.

2. Проведем биссектрису $AE$ угла $\angle A$, где точка $E$ лежит на стороне $BC$.

В прямоугольном треугольнике $ABE$ ($ \angle B = 90^\circ $):

$ \angle BAE = \frac{1}{2} \angle DAB = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ $

Сумма углов в треугольнике $180^\circ$, поэтому $ \angle AEB = 180^\circ - \angle B - \angle BAE = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ $.

Поскольку $ \angle BAE = \angle AEB = 45^\circ $, треугольник $ABE$ является равнобедренным, и $BE = AB$.

По условию $AB = 4$ дм, следовательно, $BE = 4$ дм.

3. Проведем биссектрису $DF$ угла $\angle D$, где точка $F$ лежит на стороне $BC$.

В прямоугольном треугольнике $DCF$ ($ \angle C = 90^\circ $):

$ \angle CDF = \frac{1}{2} \angle ADC = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ $

Сумма углов в треугольнике $180^\circ$, поэтому $ \angle DFC = 180^\circ - \angle C - \angle CDF = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ $.

Поскольку $ \angle CDF = \angle DFC = 45^\circ $, треугольник $DCF$ является равнобедренным, и $CF = DC$.

По условию $DC = AB = 4$ дм, следовательно, $CF = 4$ дм.

4. Длина стороны $BC$ прямоугольника равна $AD = 8$ дм.

Мы получили, что $BE = 4$ дм и $CF = 4$ дм. Если сложить эти длины: $BE + CF = 4 \text{ дм} + 4 \text{ дм} = 8 \text{ дм}$.

Поскольку $BE + CF = BC$, это означает, что точки $E$ и $F$ совпадают на стороне $BC$. Таким образом, биссектрисы $AE$ и $DE$ пересекаются в одной точке $E$ (или $F$) на стороне $BC$. Точка $E$ является серединой стороны $BC$, так как $BE = EC = 4$ дм.

5. Биссектрисы $AE$ и $DE$ делят прямоугольник $ABCD$ на три треугольника:

a) Треугольник $ABE$

b) Треугольник $DCE$

c) Треугольник $ADE$

6. Вычислим площади этих частей:

a) Площадь $ \triangle ABE $:

Треугольник $ABE$ является прямоугольным с катетами $AB$ и $BE$.

$ S_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BE $

$ S_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot 4 \text{ дм} \cdot 4 \text{ дм} = 8 \text{ дм}^2 $

b) Площадь $ \triangle DCE $:

Треугольник $DCE$ является прямоугольным с катетами $DC$ и $CE$.

Мы знаем $DC = AB = 4$ дм.

$CE = BC - BE = 8 \text{ дм} - 4 \text{ дм} = 4 \text{ дм}$.

$ S_{DCE} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot CE $

$ S_{DCE} = \frac{1}{2} \cdot 4 \text{ дм} \cdot 4 \text{ дм} = 8 \text{ дм}^2 $

c) Площадь $ \triangle ADE $:

Общая площадь прямоугольника $ABCD$ равна $S_{ABCD} = AD \cdot AB = 8 \text{ дм} \cdot 4 \text{ дм} = 32 \text{ дм}^2 $.

Площадь $ \triangle ADE $ можно найти как разность общей площади прямоугольника и сумм площадей $ \triangle ABE $ и $ \triangle DCE $.

$ S_{ADE} = S_{ABCD} - S_{ABE} - S_{DCE} $

$ S_{ADE} = 32 \text{ дм}^2 - 8 \text{ дм}^2 - 8 \text{ дм}^2 = 16 \text{ дм}^2 $.

Также площадь $ \triangle ADE $ можно найти как половину произведения основания $AD$ на высоту, опущенную из вершины $E$ на основание $AD$. Поскольку $E$ лежит на стороне $BC$, параллельной $AD$, высота из $E$ на $AD$ равна расстоянию между сторонами $AD$ и $BC$, то есть равна стороне $AB$ (или $DC$).

$ S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ дм} \cdot 4 \text{ дм} = 16 \text{ дм}^2 $.

Ответ:

Площадь прямоугольника делится на три части: $8 \text{ дм}^2$, $8 \text{ дм}^2$ и $16 \text{ дм}^2$.