Номер 95, страница 49 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

95. В равнобедренной трапеции $ABCD$ с большим основанием $AD$ перпендикуляр $BH$ делит основание $AD$ на отрезки 3,5 см и 8,5 см. Найдите основания этой трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD$ — большее основание. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. По условию, точка $H$ лежит на $AD$ и делит его на два отрезка, длины которых равны 3,5 см и 8,5 см.

Длина большего основания $AD$ равна сумме длин этих двух отрезков. Обозначим их как $AH$ и $HD$. Тогда:$AD = AH + HD = 3,5 + 8,5 = 12$ см.

Теперь найдем длину меньшего основания $BC$. В равнобедренной трапеции высоты, опущенные из вершин меньшего основания на большее, отсекают на большем основании равные отрезки. Проведем вторую высоту $CK$ из вершины $C$ на основание $AD$.

В этом случае треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны (по гипотенузе и катету, так как $AB=CD$ и $BH=CK$). Следовательно, отрезки $AH$ и $KD$ равны: $AH = KD$.

Четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником, поскольку $BC \parallel AD$ и $BH \perp AD$, $CK \perp AD$. Значит, $BC = HK$.

Отрезок $AH$ является одним из отрезков, на которые высота делит основание $AD$. Он равен полуразности оснований:$AH = \frac{AD - BC}{2}$

Другой отрезок, $HD$, можно представить как $HD = HK + KD = BC + AH$. Он равен полусумме оснований:$HD = \frac{AD + BC}{2}$

Поскольку $AD > BC$, то $\frac{AD-BC}{2} < \frac{AD+BC}{2}$, следовательно, $AH$ — это меньший из двух отрезков, а $HD$ — больший.Таким образом, $AH = 3,5$ см, а $HD = 8,5$ см.

Используем любую из формул для нахождения $BC$. Возьмем формулу для $AH$:$AH = \frac{AD - BC}{2}$$3,5 = \frac{12 - BC}{2}$$7 = 12 - BC$$BC = 12 - 7 = 5$ см.

Проверим результат с помощью второй формулы для $HD$:$HD = \frac{AD + BC}{2}$$8,5 = \frac{12 + BC}{2}$$17 = 12 + BC$$BC = 17 - 12 = 5$ см.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: основания трапеции равны 5 см и 12 см.