Номер 94, страница 49 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

94. Периметр трапеции равен 40 см, меньшее основание – 10 см. Через конец меньшего основания проведена прямая, параллельная боковой стороне трапеции. Найдите периметр полученного треугольника.

Обозначим трапецию как $ABCD$, где $BC$ и $AD$ – основания, а $AB$ и $CD$ – боковые стороны. По условию, меньшее основание $BC = 10$ см, а периметр трапеции $P_{ABCD} = 40$ см.

Периметр трапеции – это сумма длин всех ее сторон:$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 40$ см.

Проведем через конец меньшего основания, например, через вершину $C$, прямую, параллельную боковой стороне $AB$. Пусть эта прямая пересекает большее основание $AD$ в точке $E$. В результате этого построения мы получаем треугольник $CED$ и четырехугольник $ABCE$.

Рассмотрим четырехугольник $ABCE$. По построению, сторона $CE$ параллельна стороне $AB$. Так как $BC$ и $AD$ – основания трапеции, то $BC$ параллельна $AE$ (поскольку $E$ лежит на $AD$). Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, $ABCE$ – параллелограмм.

По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны равны:$AB = CE$$AE = BC = 10$ см.

Найдем периметр полученного треугольника $CED$. Периметр треугольника $P_{CED}$ равен сумме длин его сторон:$P_{CED} = CE + ED + CD$.

Теперь вернемся к периметру трапеции. Запишем длину большего основания $AD$ как сумму длин отрезков $AE$ и $ED$: $AD = AE + ED$.Подставим это выражение в формулу периметра трапеции:$P_{ABCD} = AB + BC + CD + (AE + ED) = 40$ см.

Используем найденные равенства: $AB = CE$ и $AE = BC = 10$ см. Подставим их в формулу периметра:$CE + 10 + CD + 10 + ED = 40$ см.

Сгруппируем слагаемые:$(CE + ED + CD) + 20 = 40$ см.

Выражение в скобках является периметром треугольника $CED$. Таким образом:$P_{CED} + 20 = 40$ см.

Отсюда находим периметр треугольника:$P_{CED} = 40 - 20 = 20$ см.

Ответ: 20 см.