Вопросы, страница 49 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Чему равна сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции?
2. Докажите, что углы при основании неравнобедренной трапеции не равны.
3. Докажите, что диагонали равнобедренной трапеции равны.

1. Чему равна сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции?

Дано:
Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD \parallel BC$. Боковая сторона, например, $AB$.

Найти:
Сумму углов, прилежащих к боковой стороне $AB$, то есть $\angle A + \angle B$.

Решение:
В трапеции основания $AD$ и $BC$ являются параллельными прямыми. Боковая сторона $AB$ является секущей, пересекающей эти параллельные прямые. Углы $\angle DAB$ (или просто $\angle A$) и $\angle ABC$ (или просто $\angle B$) являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$. По свойству параллельных прямых, сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$.
Следовательно, $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Аналогично, для другой боковой стороны $CD$, сумма углов $\angle C + \angle D = 180^\circ$.

Ответ: $180^\circ$.

2. Докажите, что углы при основании неравнобедренной трапеции не равны.

Дано:
Неравнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD \parallel BC$.
По определению неравнобедренной трапеции, ее боковые стороны не равны: $AB \neq CD$.

Найти:
Доказать, что углы при основании не равны, то есть $\angle A \neq \angle D$ и $\angle B \neq \angle C$.

Решение:
Докажем методом от противного. Предположим, что в неравнобедренной трапеции $ABCD$ углы при одном из оснований равны, например, $\angle A = \angle D$.
1. Проведем высоты $BH$ и $CK$ из вершин $B$ и $C$ соответственно к основанию $AD$. Поскольку $AD \parallel BC$, то $BH = CK$ (как расстояние между параллельными прямыми).
2. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ (с прямым углом при $H$) и $\triangle DCK$ (с прямым углом при $K$).
3. У нас есть:

• Гипотенузы $AB$ и $CD$.
• Катеты $BH$ и $CK$, причем $BH = CK$.
• Углы $\angle A$ и $\angle D$.

4. Если бы $\angle A = \angle D$ (наше предположение), то по признаку равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу (или по гипотенузе и острому углу, если использовать $AB$ и $CD$, но мы их не знаем равными пока), или по стороне и двум углам, $\triangle ABH$ был бы равен $\triangle DCK$.
5. Из равенства $\triangle ABH = \triangle DCK$ следовало бы, что $AB = CD$.
6. Однако, это противоречит определению неравнобедренной трапеции, для которой $AB \neq CD$.
7. Следовательно, наше предположение о том, что $\angle A = \angle D$, неверно. Значит, $\angle A \neq \angle D$.
Аналогично, можно доказать, что $\angle B \neq \angle C$. Мы знаем, что сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B = 180^\circ$ и $\angle C + \angle D = 180^\circ$.
Если бы $\angle B = \angle C$, то из этих равенств следовало бы, что $180^\circ - \angle A = 180^\circ - \angle D$, что влечет $\angle A = \angle D$. Но мы уже доказали, что $\angle A \neq \angle D$. Следовательно, $\angle B \neq \angle C$.

Ответ: Доказано, что в неравнобедренной трапеции углы при основании не равны, поскольку равенство углов при основании приводит к равенству боковых сторон, что противоречит определению неравнобедренной трапеции.

3. Докажите, что диагонали равнобедренной трапеции равны.

Дано:
Равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD \parallel BC$.
Боковые стороны равны: $AB = CD$.

Найти:
Доказать, что диагонали равны: $AC = BD$.

Решение:
Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$.
1. Сторона $AB$ в $\triangle ABD$ равна стороне $DC$ в $\triangle DCA$, так как трапеция равнобедренная: $AB = DC$ (дано).
2. Сторона $AD$ является общей для обоих треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$.
3. Углы при основании равнобедренной трапеции равны: $\angle DAB = \angle CDA$.
Таким образом, мы имеем две стороны и угол между ними ($AB$, $AD$, $\angle DAB$ для $\triangle ABD$ и $DC$, $DA$, $\angle CDA$ для $\triangle DCA$), которые соответственно равны.
По признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (СУС), треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$ равны.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон. Диагональ $BD$ является стороной $\triangle ABD$, лежащей напротив угла $\angle DAB$. Диагональ $AC$ является стороной $\triangle DCA$, лежащей напротив угла $\angle CDA$.
Поскольку $\triangle ABD = \triangle DCA$, то их соответствующие стороны равны, следовательно, $BD = AC$.

Ответ: Доказано, что диагонали равнобедренной трапеции равны.