Номер 7, страница 110 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 7

Тема. Обобщение и систематизация знаний учащихся за курс 8 класса

1. Найдите углы параллелограмма, если один из них на $32^\circ$ меньше другого.

2. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Большее основание $AD$ равно 12 см, $DE = 16$ см, $CD = 10$ см. Найдите меньшее основание трапеции.

3. Высота $DE$ треугольника $CDF$ делит его сторону $CF$ на отрезки $CE$ и $EF$. Найдите сторону $CD$, если $EF = 8$ см, $DF = 17$ см, $\angle C = 60^\circ$.

4. Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 18 см, а диагональ является биссектрисой её острого угла. Найдите площадь трапеции.

5. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на её диаметр, делит его на два отрезка, разность которых равна 21 см. Найдите радиус окружности, если длина данного перпендикуляра равна 10 см.

Контрольная работа № 7

Тема. Обобщение и систематизация знаний учащихся за курс 8 класса

1. Найдите углы параллелограмма, если один из них на $32^\circ$ меньше другого.

2. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Большее основание $AD$ равно 12 см, $DE = 16$ см, $CD = 10$ см. Найдите меньшее основание трапеции.

3. Высота $DE$ треугольника $CDF$ делит его сторону $CF$ на отрезки $CE$ и $EF$. Найдите сторону $CD$, если $EF = 8$ см, $DF = 17$ см, $\angle C = 60^\circ$.

4. Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 18 см, а диагональ является биссектрисой её острого угла. Найдите площадь трапеции.

5. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на её диаметр, делит его на два отрезка, разность которых равна 21 см. Найдите радиус окружности, если длина данного перпендикуляра равна 10 см.

1.

Пусть один из углов параллелограмма равен $x$. Углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма, в сумме дают $180^\circ$. Следовательно, смежный с ним угол равен $180^\circ - x$.

По условию задачи, один угол на $32^\circ$ меньше другого. Предположим, что $x$ — это больший угол. Тогда можно составить уравнение:

$(180^\circ - x) = x - 32^\circ$

$180^\circ + 32^\circ = 2x$

$212^\circ = 2x$

$x = 106^\circ$

Один угол равен $106^\circ$. Смежный с ним угол равен $180^\circ - 106^\circ = 74^\circ$.

Противоположные углы в параллелограмме равны. Таким образом, у параллелограмма два угла по $106^\circ$ и два угла по $74^\circ$.

Ответ: $74^\circ, 106^\circ, 74^\circ, 106^\circ$.

2.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то треугольники $\triangle EBC$ и $\triangle EAD$ подобны (по двум углам: $\angle E$ — общий, а $\angle ECB = \angle EDA$ как соответственные углы при параллельных прямых $BC, AD$ и секущей $ED$).

Из подобия треугольников следует соотношение сторон:

$\frac{BC}{AD} = \frac{EC}{ED}$

По условию дано: большее основание $AD = 12$ см, $DE = 16$ см, $CD = 10$ см. Точка $C$ лежит на отрезке $ED$, значит, $EC = ED - CD$.

$EC = 16 - 10 = 6$ см.

Теперь мы можем найти меньшее основание $BC$, подставив известные значения в пропорцию:

$\frac{BC}{12} = \frac{6}{16}$

$BC = 12 \cdot \frac{6}{16} = 12 \cdot \frac{3}{8} = \frac{36}{8} = 4,5$ см.

Ответ: 4,5 см.

3.

В треугольнике $CDF$ проведена высота $DE$ к стороне $CF$, следовательно, треугольники $\triangle DEC$ и $\triangle DEF$ — прямоугольные ($\angle DEC = \angle DEF = 90^\circ$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DEF$. По теореме Пифагора $DE^2 + EF^2 = DF^2$. Нам известны гипотенуза $DF = 17$ см и катет $EF = 8$ см. Найдем катет $DE$:

$DE^2 + 8^2 = 17^2$

$DE^2 + 64 = 289$

$DE^2 = 289 - 64 = 225$

$DE = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DEC$. В нем известен катет $DE = 15$ см (противолежащий углу $C$) и угол $\angle C = 60^\circ$. Найдем гипотенузу $CD$.

Воспользуемся определением синуса угла: $\sin C = \frac{DE}{CD}$.

$\sin 60^\circ = \frac{15}{CD}$

Известно, что $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15}{CD}$

$CD = \frac{15 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{30}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3}$ см.

Ответ: $10\sqrt{3}$ см.

4.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD=18$ см и $BC=12$ см — основания. Диагональ $AC$ — биссектриса острого угла $\angle A$.

Так как $AC$ является биссектрисой, то $\angle BAC = \angle CAD$.

Поскольку $BC \parallel AD$, углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны как накрест лежащие при секущей $AC$.

Из этих двух равенств следует, что $\angle BAC = \angle BCA$. Значит, треугольник $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$, и его боковые стороны равны: $AB = BC = 12$ см.

Так как трапеция равнобокая, ее боковые стороны равны: $CD = AB = 12$ см.

Для вычисления площади трапеции $S = \frac{AD+BC}{2}h$ необходимо найти высоту $h$. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$.

В равнобокой трапеции отрезок $AH$, который высота отсекает на большем основании, вычисляется по формуле: $AH = \frac{AD-BC}{2}$.

$AH = \frac{18-12}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. По теореме Пифагора $AB^2 = AH^2 + BH^2$.

$12^2 = 3^2 + h^2$

$144 = 9 + h^2$

$h^2 = 135$

$h = \sqrt{135} = \sqrt{9 \cdot 15} = 3\sqrt{15}$ см.

Теперь вычислим площадь трапеции:

$S = \frac{18+12}{2} \cdot 3\sqrt{15} = \frac{30}{2} \cdot 3\sqrt{15} = 15 \cdot 3\sqrt{15} = 45\sqrt{15}$ см$^2$.

Ответ: $45\sqrt{15}$ см$^2$.

5.

Пусть из точки $C$ на окружности опущен перпендикуляр $CD$ на ее диаметр. Длина перпендикуляра $CD = 10$ см. Этот перпендикуляр делит диаметр на отрезки, которые мы обозначим $x$ и $y$.

По свойству высоты, проведенной из вершины прямого угла в прямоугольном треугольнике (угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой), квадрат высоты равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу: $CD^2 = x \cdot y$.

По условию задачи, разность этих отрезков равна 21 см: $x - y = 21$.

Мы получили систему уравнений:

$\begin{cases} x - y = 21 \\ x \cdot y = 10^2 = 100 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x = y + 21$ и подставим во второе:

$(y+21) \cdot y = 100$

$y^2 + 21y - 100 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 21^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 441 + 400 = 841$. Корень из дискриминанта $\sqrt{841} = 29$.

$y_1 = \frac{-21 - 29}{2} = -25$ (не является решением, так как длина отрезка не может быть отрицательной).

$y_2 = \frac{-21 + 29}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Один отрезок равен 4 см. Найдем второй отрезок:

$x = 4 + 21 = 25$ см.

Длина диаметра равна сумме этих отрезков: $D_{диаметр} = x + y = 25 + 4 = 29$ см.

Радиус окружности $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{D_{диаметр}}{2} = \frac{29}{2} = 14,5$ см.

Ответ: 14,5 см.