Номер 1, страница 107 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 1

Тема. Параллелограмм и его виды

1. Одна из сторон параллелограмма в 5 раз больше другой, а его периметр равен 36 см. Найдите стороны параллелограмма.

2. В прямоугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$, $AD = 14$ см, $BD = 18$ см. Найдите периметр треугольника $BOC$.

3. Сторона ромба образует с одной из его диагоналей угол $68^\circ$. Найдите углы ромба.

4. На диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$ отметили точки $P$ и $K$ так, что $AP = CK$ (точка $P$ лежит между точками $A$ и $K$). Докажите, что $\angle ADP = \angle CBK$.

5. В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $D$ пересекает сторону $AB$ в точке $P$. Отрезок $AP$ меньше отрезка $BP$ в 6 раз. Найдите периметр параллелограмма, если $AB = 14$ см.

6. Прямая, пересекающая диагональ $BD$ параллелограмма $ABCD$ в точке $E$, пересекает его стороны $AB$ и $CD$ в точках $M$ и $K$ соответственно, причём $ME = KE$. Докажите, что четырёхугольник $BKDM$ — параллелограмм.

Контрольная работа № 1

Тема. Параллелограмм и его виды

1. Одна из сторон параллелограмма в 5 раз больше другой, а его периметр равен 36 см. Найдите стороны параллелограмма.

2. В прямоугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$, $AD = 14$ см, $BD = 18$ см. Найдите периметр треугольника $BOC$.

3. Сторона ромба образует с одной из его диагоналей угол $68^\circ$. Найдите углы ромба.

4. На диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$ отметили точки $P$ и $K$ так, что $AP = CK$ (точка $P$ лежит между точками $A$ и $K$). Докажите, что $\angle ADP = \angle CBK$.

5. В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $D$ пересекает сторону $AB$ в точке $P$. Отрезок $AP$ меньше отрезка $BP$ в 6 раз. Найдите периметр параллелограмма, если $AB = 14$ см.

6. Прямая, пересекающая диагональ $BD$ параллелограмма $ABCD$ в точке $E$, пересекает его стороны $AB$ и $CD$ в точках $M$ и $K$ соответственно, причём $ME = KE$. Докажите, что четырёхугольник $BKDM$ — параллелограмм.

1. Пусть одна из сторон параллелограмма равна $x$ см. По условию, другая сторона в 5 раз больше, значит, она равна $5x$ см. Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ – смежные стороны. Периметр равен 36 см.

Составим и решим уравнение:
$2(x + 5x) = 36$
$2 \cdot 6x = 36$
$12x = 36$
$x = 36 / 12$
$x = 3$

Таким образом, одна сторона равна 3 см, а вторая – $5 \cdot 3 = 15$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 3 см и 15 см.

2. В прямоугольнике $ABCD$ диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AC = BD = 18$ см. Точка $O$ делит диагонали пополам, поэтому $BO = OC = BD / 2 = 18 / 2 = 9$ см.

Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому $BC = AD$. По условию $AD = 14$ см, значит, $BC = 14$ см.

Периметр треугольника $BOC$ равен сумме длин его сторон: $P_{\triangle BOC} = BO + OC + BC$.

$P_{\triangle BOC} = 9 + 9 + 14 = 32$ см.

Ответ: 32 см.

3. Пусть дан ромб $ABCD$. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Пусть сторона ромба $AB$ образует с диагональю $AC$ угол 68°, то есть $\angle BAC = 68°$.

Так как диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle BAD$, то $\angle BAD = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 68° = 136°$.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба (как и любого параллелограмма), равна 180°. Значит, $\angle ABC = 180° - \angle BAD = 180° - 136° = 44°$.

Противоположные углы в ромбе равны, поэтому углы ромба равны 136°, 44°, 136°, 44°.

Ответ: углы ромба равны 44° и 136°.

4. Для доказательства равенства углов $\angle ADP$ и $\angle CBK$ рассмотрим треугольники $\triangle ADP$ и $\triangle CBK$.

По свойствам параллелограмма $ABCD$ имеем:
1. $AD = CB$ (как противоположные стороны параллелограмма).
2. $AD \parallel CB$ (как противоположные стороны параллелограмма).

Поскольку $AD \parallel CB$, то углы $\angle DAC$ и $\angle BCA$ являются накрест лежащими при секущей $AC$, следовательно, $\angle DAC = \angle BCA$. Эти же углы можно обозначить как $\angle DAP$ и $\angle BCK$.

Сравним треугольники $\triangle ADP$ и $\triangle CBK$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):
• $AD = CB$ (из свойств параллелограмма).
• $AP = CK$ (по условию задачи).
• $\angle DAP = \angle BCK$ (как накрест лежащие).

Следовательно, $\triangle ADP \cong \triangle CBK$. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, то есть $\angle ADP = \angle CBK$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

5. Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. $DP$ — биссектриса угла $\angle ADC$, точка $P$ лежит на стороне $AB$.

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $AB \parallel CD$. Прямая $DP$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, накрест лежащие углы $\angle APD$ и $\angle PDC$ равны.

Поскольку $DP$ — биссектриса угла $\angle ADC$, то $\angle ADP = \angle PDC$.

Из двух полученных равенств следует, что $\angle APD = \angle ADP$. Это означает, что треугольник $\triangle APD$ является равнобедренным с основанием $DP$, и, следовательно, $AD = AP$.

По условию $AB = 14$ см и $BP = 6 \cdot AP$. Сторона $AB$ состоит из отрезков $AP$ и $BP$: $AB = AP + BP$.

Подставим известные данные в это равенство:
$14 = AP + 6 \cdot AP$
$14 = 7 \cdot AP$
$AP = 14 / 7 = 2$ см.

Так как $AD = AP$, то сторона $AD = 2$ см.

Периметр параллелограмма равен $P = 2(AB + AD)$.
$P = 2(14 + 2) = 2 \cdot 16 = 32$ см.

Ответ: 32 см.

6. Для доказательства того, что четырехугольник $BKDM$ является параллелограммом, воспользуемся признаком: если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм.

Диагонали четырехугольника $BKDM$ — это отрезки $BD$ и $MK$. Они пересекаются в точке $E$. По условию, $ME = KE$, то есть точка $E$ — середина диагонали $MK$. Осталось доказать, что $E$ также является серединой диагонали $BD$, то есть $BE = DE$.

Рассмотрим треугольники $\triangle BME$ и $\triangle DKE$.
1. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны $AB$ и $CD$ параллельны. Тогда углы $\angle MBE$ и $\angle KDE$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AB$, $CD$ и секущей $BD$.
2. Углы $\angle BEM$ и $\angle DEK$ равны как вертикальные.
3. Стороны $ME$ и $KE$ равны по условию задачи.

Следовательно, $\triangle BME = \triangle DKE$ по стороне и двум углам (AAS). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $BE = DE$.

Таким образом, диагонали четырехугольника $BKDM$ в точке пересечения $E$ делятся пополам ($ME = KE$ и $BE = DE$). Следовательно, $BKDM$ — параллелограмм по соответствующему признаку.

Ответ: Что и требовалось доказать.