Номер 2, страница 102 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 2

Тема. Средняя линия треугольника. Трапеция. Вписанные и описанные четырёхугольники

1. Найдите периметр треугольника, если его средние линии равны 6 см, 9 см и 10 см.

2. Основания трапеции относятся как 3 : 5, а средняя линия равна 32 см. Найдите основания трапеции.

3. Боковые стороны трапеции равны 7 см и 12 см. Чему равен периметр трапеции, если в неё можно вписать окружность?

4. Основания равнобокой трапеции равны 3 см и 7 см, а диагональ делит тупой угол трапеции пополам. Найдите периметр трапеции.

5. Найдите углы четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, если $\angle ADB = 43^\circ, \angle ACD = 37^\circ, \angle CAD = 22^\circ$.

6. Высота равнобокой трапеции равна 9 см, а её диагонали перпендикулярны. Найдите периметр трапеции, если её боковая сторона равна 12 см.

Контрольная работа № 2

Тема. Средняя линия треугольника. Трапеция.

Вписанные и описанные четырёхугольники

1. Найдите периметр треугольника, если его средние линии равны 6 см, 9 см и 10 см.

2. Основания трапеции относятся как 3 : 5, а средняя линия равна 32 см. Найдите основания трапеции.

3. Боковые стороны трапеции равны 7 см и 12 см. Чему равен периметр трапеции, если в неё можно вписать окружность?

4. Основания равнобокой трапеции равны 3 см и 7 см, а диагональ делит тупой угол трапеции пополам. Найдите периметр трапеции.

5. Найдите углы четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, если $\angle ADB = 43^\circ$, $\angle ACD = 37^\circ$, $\angle CAD = 22^\circ$.

6. Высота равнобокой трапеции равна 9 см, а её диагонали перпендикулярны. Найдите периметр трапеции, если её боковая сторона равна 12 см.

1. Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. Пусть стороны треугольника равны $a, b, c$, а средние линии, параллельные этим сторонам, равны соответственно $m_a, m_b, m_c$. Тогда:
$a = 2 \cdot m_a$
$b = 2 \cdot m_b$
$c = 2 \cdot m_c$
По условию, средние линии равны 6 см, 9 см и 10 см. Следовательно, стороны треугольника равны:
$a = 2 \cdot 6 = 12$ см
$b = 2 \cdot 9 = 18$ см
$c = 2 \cdot 10 = 20$ см
Периметр треугольника $P$ равен сумме длин его сторон:
$P = a + b + c = 12 + 18 + 20 = 50$ см.
Ответ: 50 см.

2. Длина средней линии трапеции $m$ равна полусумме её оснований $a$ и $b$:
$m = \frac{a+b}{2}$
По условию, основания относятся как 3 : 5. Обозначим их как $a = 3x$ и $b = 5x$. Средняя линия равна 32 см. Подставим эти значения в формулу:
$32 = \frac{3x + 5x}{2}$
$32 = \frac{8x}{2}$
$32 = 4x$
$x = \frac{32}{4} = 8$
Теперь найдём длины оснований:
$a = 3x = 3 \cdot 8 = 24$ см
$b = 5x = 5 \cdot 8 = 40$ см
Ответ: 24 см и 40 см.

3. Согласно свойству описанного четырёхугольника (теореме Пито), в трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин её противоположных сторон равны. Пусть $a$ и $b$ — основания трапеции, а $c$ и $d$ — её боковые стороны. Тогда должно выполняться равенство:
$a + b = c + d$
По условию, боковые стороны равны 7 см и 12 см. Значит, $c = 7$ см и $d = 12$ см.
Сумма боковых сторон: $c + d = 7 + 12 = 19$ см.
Следовательно, сумма оснований также равна 19 см: $a + b = 19$ см.
Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех её сторон:
$P = a + b + c + d = (a+b) + (c+d) = 19 + 19 = 38$ см.
Ответ: 38 см.

4. Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $BC=3$ см и $AD=7$ см, и боковыми сторонами $AB=CD$. Диагональ $AC$ делит тупой угол $\angle BCD$ пополам, то есть $\angle BCA = \angle ACD$.
Так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны как накрест лежащие углы при секущей $AC$.
Отсюда следует, что $\angle ACD = \angle CAD$.
Это означает, что треугольник $ACD$ является равнобедренным с основанием $AC$, и его боковые стороны равны: $CD = AD$.
По условию $AD=7$ см, значит $CD=7$ см.
Так как трапеция равнобокая, то её боковые стороны равны: $AB=CD=7$ см.
Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех её сторон:
$P = AB + BC + CD + AD = 7 + 3 + 7 + 7 = 24$ см.
Ответ: 24 см.

5. Для четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, справедливы следующие свойства:
1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
2. Сумма противоположных углов равна $180^\circ$.
Дано: $\angle ADB = 43^\circ$, $\angle ACD = 37^\circ$, $\angle CAD = 22^\circ$.
Используем первое свойство, чтобы найти части углов четырёхугольника:
- $\angle ACB$ и $\angle ADB$ опираются на дугу $AB$, следовательно, $\angle ACB = \angle ADB = 43^\circ$.
- $\angle ABD$ и $\angle ACD$ опираются на дугу $AD$, следовательно, $\angle ABD = \angle ACD = 37^\circ$.
- $\angle CBD$ и $\angle CAD$ опираются на дугу $CD$, следовательно, $\angle CBD = \angle CAD = 22^\circ$.
Теперь найдём углы четырёхугольника, суммируя их части:
$\angle B = \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 37^\circ + 22^\circ = 59^\circ$.
$\angle C = \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 43^\circ + 37^\circ = 80^\circ$.
Используем второе свойство для нахождения оставшихся углов:
$\angle A + \angle C = 180^\circ \implies \angle A = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.
$\angle B + \angle D = 180^\circ \implies \angle D = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 59^\circ = 121^\circ$.
Ответ: $\angle A = 100^\circ$, $\angle B = 59^\circ$, $\angle C = 80^\circ$, $\angle D = 121^\circ$.

6. В равнобокой трапеции, у которой диагонали перпендикулярны, высота равна средней линии.
Пусть высота трапеции $h$, а средняя линия $m$. По условию, $h = 9$ см. Следовательно, $m = 9$ см.
Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований $a$ и $b$:
$m = \frac{a+b}{2}$
Отсюда сумма оснований равна:
$a+b = 2 \cdot m = 2 \cdot 9 = 18$ см.
Периметр трапеции $P$ равен сумме оснований и боковых сторон. По условию, трапеция равнобокая, и её боковая сторона равна 12 см. Значит, обе боковые стороны равны 12 см.
$P = (a+b) + c + d = 18 + 12 + 12 = 42$ см.
Ответ: 42 см.