Номер 273, страница 100 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

273. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 8 см и 18 см, а углы при большем основании — $30^\circ$ и $60^\circ$.

273. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 8 см и 18 см, а углы при большем основании — $30^\circ$ и $60^\circ$.

Пусть дана трапеция ABCD, где AD и BC — основания.

По условию, основания равны $BC = 8$ см и $AD = 18$ см. Углы при большем основании AD равны $\angle A = 30^\circ$ и $\angle D = 60^\circ$.

Для нахождения площади трапеции воспользуемся формулой $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

Проведем из вершин B и C высоты BH и CK на основание AD. Так как BC параллельно AD, а BH и CK перпендикулярны AD, то четырехугольник HBCK является прямоугольником. Следовательно, $BH = CK = h$ (высота трапеции) и $HK = BC = 8$ см.

Основание AD состоит из трех отрезков: $AD = AH + HK + KD$.

Подставим известные значения: $18 = AH + 8 + KD$.

Отсюда находим сумму отрезков AH и KD: $AH + KD = 18 - 8 = 10$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH ($\angle H = 90^\circ$).

Из определения тангенса угла: $\tan(\angle A) = \frac{BH}{AH}$.

$\tan(30^\circ) = \frac{h}{AH}$, откуда $AH = \frac{h}{\tan(30^\circ)} = \frac{h}{1/\sqrt{3}} = h\sqrt{3}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CKD ($\angle K = 90^\circ$).

Из определения тангенса угла: $\tan(\angle D) = \frac{CK}{KD}$.

$\tan(60^\circ) = \frac{h}{KD}$, откуда $KD = \frac{h}{\tan(60^\circ)} = \frac{h}{\sqrt{3}}$.

Теперь подставим выражения для AH и KD в уравнение $AH + KD = 10$:

$h\sqrt{3} + \frac{h}{\sqrt{3}} = 10$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{h(\sqrt{3})^2 + h}{\sqrt{3}} = 10$

$\frac{3h + h}{\sqrt{3}} = 10$

$\frac{4h}{\sqrt{3}} = 10$

$4h = 10\sqrt{3}$

$h = \frac{10\sqrt{3}}{4} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$ см.

Теперь, зная высоту, мы можем вычислить площадь трапеции:

$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{18 + 8}{2} \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2}$

$S = \frac{26}{2} \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2} = 13 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{65\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{65\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.