Номер 267, страница 100 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

267. Основания равнобокой трапеции равны 30 см и 40 см, а диагональ — 37 см. Найдите площадь трапеции.

267. Основания равнобокой трапеции равны 30 см и 40 см, а диагональ – 37 см. Найдите площадь трапеции.

Для нахождения площади равнобокой трапеции воспользуемся формулой: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания трапеции, а $h$ — ее высота.

По условию задачи нам даны основания $a = 40$ см и $b = 30$ см. Чтобы найти площадь, необходимо вычислить высоту $h$.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AB — большее основание ($AB = 40$ см), CD — меньшее основание ($CD = 30$ см), а AC — диагональ ($AC = 37$ см).

Проведем из вершины C высоту CH на основание AB. Получим прямоугольный треугольник ACH. По теореме Пифагора: $AC^2 = AH^2 + CH^2$. Чтобы найти высоту $CH = h$, нам нужно сначала найти длину катета AH.

Проведем вторую высоту DK из вершины D на то же основание AB. Так как трапеция равнобокая, отрезки, отсекаемые высотами от вершин большего основания, равны: $AK = HB$. Длину этих отрезков можно найти по формуле: $AK = \frac{AB - CD}{2} = \frac{40 - 30}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Четырехугольник DCHK является прямоугольником, так как DK и CH — высоты (перпендикулярны AB), а DC параллельно AB (и, следовательно, KH). Значит, $KH = CD = 30$ см.

Теперь мы можем найти длину отрезка AH, который является суммой отрезков AK и KH: $AH = AK + KH = 5 + 30 = 35$ см.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику ACH и найдем его катет CH (высоту трапеции): $h^2 = CH^2 = AC^2 - AH^2 = 37^2 - 35^2$. Применим формулу разности квадратов: $h^2 = (37 - 35)(37 + 35) = 2 \cdot 72 = 144$. $h = \sqrt{144} = 12$ см.

Зная высоту, можем вычислить площадь трапеции: $S = \frac{40 + 30}{2} \cdot 12 = \frac{70}{2} \cdot 12 = 35 \cdot 12 = 420$ см².

Ответ: 420 см².