Номер 270, страница 100 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

270. Основания прямоугольной трапеции равны 6 см и 10 см. Найдите площадь трапеции, если её меньшая диагональ является биссектрисой прямого угла трапеции.

270. Основания прямоугольной трапеции равны 6 см и 10 см. Найдите площадь трапеции, если её меньшая диагональ является биссектрисой прямого угла трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой $AD$ и $BC$ — основания, а боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям. Таким образом, $\angle A = \angle B = 90^\circ$.

По условию задачи, длины оснований равны $BC = 6$ см и $AD = 10$ см. Высотой трапеции является сторона $AB$.

Сначала определим, какая из двух диагоналей, $AC$ или $BD$, является меньшей. Для этого рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$. Согласно теореме Пифагора:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = AB^2 + 6^2$

$BD^2 = AB^2 + AD^2 = AB^2 + 10^2$

Поскольку $AD > BC$ ($10 > 6$), то $BD^2 > AC^2$, и, следовательно, $BD > AC$. Значит, меньшая диагональ трапеции — это $AC$.

По условию, меньшая диагональ $AC$ является биссектрисой прямого угла $A$. Это означает, что она делит угол $A$ на два равных угла:

$\angle BAC = \angle CAD = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ (где $\angle B = 90^\circ$). В этом треугольнике мы знаем, что $\angle BAC = 45^\circ$. Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle BCA$ равен:

$\angle BCA = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку в треугольнике $\triangle ABC$ два угла равны ($\angle BAC = \angle BCA = 45^\circ$), он является равнобедренным. Это означает, что его катеты равны: $AB = BC$.

Так как нам известно, что $BC = 6$ см, то высота трапеции $h = AB$ также равна 6 см.

Теперь мы можем вычислить площадь трапеции, используя формулу:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота.

Подставим известные значения в формулу:

$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot AB = \frac{10 + 6}{2} \cdot 6 = \frac{16}{2} \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48$ см$^2$.

Ответ: 48 см$^2$.