Номер 269, страница 100 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

269. Найдите площадь трапеции ABCD, изображённой на рисунке 123 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 123

Вершины: A, B, C, D

Длины сторон: $AB = 12$, $BC = 7$, $CD = 10$

Угол: $\angle A = 30^\circ$

Основание: $AD = a$

Вершины: A, B, C, D

Длины сторон: $AB = 4\sqrt{2}$, $BC = 3$

Углы: $\angle A = 45^\circ$, $\angle D = 90^\circ$

Основание: $AD = 6$

269. Найдите площадь трапеции ABCD, изображённой на рисунке 123 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 123

a

$AB = 12$

$BC = 7$

$CD = 10$

$\angle A = 30^\circ$

б

$BC = 3$

$AB = 4\sqrt{2}$

$\angle A = 45^\circ$

а

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ – длины оснований, а $h$ – высота.

В трапеции $ABCD$ даны верхнее основание $BC = 7$ см, боковые стороны $AB=12$ см и $CD=10$ см, и угол $\angle A = 30^\circ$. Для нахождения площади необходимо найти высоту $h$ и длину нижнего основания $AD$.

1. Проведём из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ к основанию $AD$. Высота трапеции $h = BH = CK$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$.
Гипотенуза $AB = 12$ см, а $\angle A = 30^\circ$. Катет $BH$, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы.
$h = BH = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \times 12 = 6$ см.
Найдем катет $AH$, используя косинус угла $A$:
$AH = AB \cdot \cos(30^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CDK$.
Гипотенуза $CD = 10$ см, катет (высота) $CK = h = 6$ см. Найдем второй катет $KD$ по теореме Пифагора:
$CD^2 = CK^2 + KD^2$
$10^2 = 6^2 + KD^2$
$100 = 36 + KD^2$
$KD^2 = 64$
$KD = \sqrt{64} = 8$ см.

4. Теперь найдем длину нижнего основания $AD$.
Отрезок $HK$ равен верхнему основанию $BC$, так как $BCKH$ — прямоугольник ($BC \parallel AD$, $BH \perp AD$, $CK \perp AD$).
$HK = BC = 7$ см.
Длина основания $AD$ равна сумме длин отрезков $AH$, $HK$ и $KD$:
$AD = AH + HK + KD = 6\sqrt{3} + 7 + 8 = 15 + 6\sqrt{3}$ см.

5. Вычислим площадь трапеции:
$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h = \frac{7 + (15 + 6\sqrt{3})}{2} \cdot 6 = \frac{22 + 6\sqrt{3}}{2} \cdot 6 = (11 + 3\sqrt{3}) \cdot 6 = 66 + 18\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $66 + 18\sqrt{3}$ см$^2$.

б

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ – длины оснований, а $h$ – высота.

В данной трапеции $ABCD$ угол $\angle D = 90^\circ$, следовательно, это прямоугольная трапеция, и её высота $h$ равна боковой стороне $CD$. Даны верхнее основание $BC = 3$ см, боковая сторона $AB = 4\sqrt{2}$ см и угол $\angle A = 45^\circ$.

1. Проведём высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AD$.
Так как трапеция прямоугольная, $CD \perp AD$. $BH$ также является высотой, поэтому $BH \perp AD$. Четырехугольник $HBCD$ является прямоугольником, так как у него все углы прямые ($BH \parallel CD$). Следовательно, $BH = CD = h$ и $HD = BC = 3$ см.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$.
Гипотенуза $AB = 4\sqrt{2}$ см, а острый угол $\angle A = 45^\circ$. Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то второй острый угол $\angle ABH = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Следовательно, треугольник $ABH$ является равнобедренным, и его катеты равны: $AH = BH$.

3. Найдем длину катетов $AH$ и $BH$ (которая является высотой трапеции $h$):
$h = BH = AB \cdot \sin(45^\circ) = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4 \cdot 2}{2} = 4$ см.
Поскольку $AH = BH$, то $AH = 4$ см.

4. Найдем длину нижнего основания $AD$.
$AD = AH + HD = 4 + 3 = 7$ см.

5. Вычислим площадь трапеции:
$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h = \frac{3 + 7}{2} \cdot 4 = \frac{10}{2} \cdot 4 = 5 \cdot 4 = 20$ см$^2$.

Ответ: 20 см$^2$.