Номер 262, страница 99 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

262. Через вершину треугольника проведите прямую так, чтобы она разбила его на два треугольника, площади которых относятся как $4 : 1$.

262. Через вершину треугольника проведите прямую так, чтобы она разбила его на два треугольника, площади которых относятся как $4 : 1$.

Пусть дан треугольник $ABC$. Требуется провести прямую через одну из его вершин, например, через вершину $B$. Такая прямая пересечет противолежащую сторону $AC$ в некоторой точке $D$ и разделит исходный треугольник на два: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Найдем отношение площадей этих двух треугольников. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на сторону $AC$. Эта высота $BH$ будет общей для обоих треугольников. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, поэтому:

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH$

$S_{CBD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot BH$

Отношение их площадей равно:

$\frac{S_{ABD}}{S_{CBD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH}{\frac{1}{2} \cdot CD \cdot BH} = \frac{AD}{CD}$

Из этого следует, что отношение площадей двух треугольников, имеющих общую высоту, равно отношению их оснований.

По условию задачи, площади должны относиться как $4:1$. Следовательно, точка $D$ должна делить сторону $AC$ в отношении $4:1$, то есть $\frac{AD}{CD} = \frac{4}{1}$ (или $\frac{AD}{CD} = \frac{1}{4}$, что также является решением, если не уточняется, какой из треугольников должен иметь большую площадь).

Таким образом, задача сводится к построению точки $D$ на стороне $AC$, которая делит ее в отношении $4:1$. Для этого необходимо разделить отрезок $AC$ на $4+1=5$ равных частей. Точка $D$ будет четвертой точкой деления, если считать от $A$ (для отношения $4:1$) или первой (для отношения $1:4$). После нахождения точки $D$ следует провести прямую через точки $B$ и $D$. Эта прямая и будет искомой.

Разделить отрезок на 5 равных частей можно стандартным способом с помощью циркуля и линейки, используя теорему Фалеса.

Ответ: Необходимо провести прямую из любой вершины треугольника к точке на противоположной стороне, которая делит эту сторону в отношении $4:1$. Для этого нужно разделить противоположную сторону на 5 равных частей и соединить вершину с точкой деления, которая отстоит от одного конца стороны на 4 части, а от другого — на 1 часть.