Номер 255, страница 98 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

255. Найдите площадь ромба, если его диагонали относятся как 5 : 12, а высота равна 60 см.

255. Найдите площадь ромба, если его диагонали относятся как 5 : 12, а высота равна 60 см.

Пусть диагонали ромба равны $d_1$ и $d_2$, сторона ромба — $a$, а его высота — $h$.

По условию задачи, отношение диагоналей $d_1 : d_2 = 5 : 12$, а высота $h = 60$ см.

Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда $d_1 = 5x$ и $d_2 = 12x$.

Площадь ромба $S$ можно вычислить по формуле через его диагонали:$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot (5x) \cdot (12x) = \frac{60x^2}{2} = 30x^2$.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Катеты этих треугольников равны половинам диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$), а гипотенуза равна стороне ромба $a$.

Используя теорему Пифагора, выразим сторону ромба $a$ через $x$:$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$$a^2 = (\frac{5x}{2})^2 + (\frac{12x}{2})^2 = \frac{25x^2}{4} + \frac{144x^2}{4} = \frac{169x^2}{4}$$a = \sqrt{\frac{169x^2}{4}} = \frac{13x}{2}$

Другая формула для площади ромба — через сторону и высоту: $S = a \cdot h$.

Теперь мы можем приравнять два выражения для площади:$30x^2 = a \cdot h$

Подставим в это равенство выражение для $a$ и известное значение $h$:$30x^2 = (\frac{13x}{2}) \cdot 60$$30x^2 = 13x \cdot 30$

Так как длина диагоналей должна быть положительной, $x \ne 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $30x$:$x = 13$.

Теперь, зная значение $x$, найдем площадь ромба:$S = 30x^2 = 30 \cdot 13^2 = 30 \cdot 169 = 5070$ см$^2$.

Ответ: 5070 см$^2$.