Номер 250, страница 98 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

250. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 34 см. Найдите площадь треугольника, если отношение его основания к высоте, проведённой к основанию, равно 16 : 15.

250. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 34 см. Найдите площадь треугольника, если отношение его основания к высоте, проведённой к основанию, равно 16 : 15.

Пусть дан равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна $b=34$ см, основание равно $a$, а высота, проведенная к основанию, равна $h$.

По условию задачи, отношение основания к высоте равно $16:15$, то есть:

$\frac{a}{h} = \frac{16}{15}$

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда можно записать:

$a = 16x$

$h = 15x$

Высота, проведенная к основанию в равнобедренном треугольнике, является также медианой. Она делит основание на две равные части. Таким образом, высота, половина основания и боковая сторона образуют прямоугольный треугольник.

Катеты этого прямоугольного треугольника равны $h$ и $\frac{a}{2}$, а гипотенуза равна боковой стороне $b$.

Найдем половину основания:

$\frac{a}{2} = \frac{16x}{2} = 8x$

Применим теорему Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

$h^2 + (\frac{a}{2})^2 = b^2$

Подставим в уравнение выражения через $x$ и значение боковой стороны:

$(15x)^2 + (8x)^2 = 34^2$

$225x^2 + 64x^2 = 1156$

$289x^2 = 1156$

$x^2 = \frac{1156}{289}$

$x^2 = 4$

Поскольку $x$ представляет собой коэффициент для длин, он должен быть положительным, поэтому $x = \sqrt{4} = 2$.

Теперь мы можем найти длину основания $a$ и высоты $h$:

$a = 16x = 16 \cdot 2 = 32$ см.

$h = 15x = 15 \cdot 2 = 30$ см.

Площадь треугольника ($S$) вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2}ah$

Подставим найденные значения:

$S = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 30 = 16 \cdot 30 = 480$ см².

Ответ: $480$ см².