Номер 246, страница 98 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

246. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке 121, если длина стороны клетки равна единице длины.

Рис. 120

Рис. 121

246. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке 121, если длина стороны клетки равна единице длины.

Рис. 121

Для нахождения площади треугольника, изображенного на клетчатой бумаге, можно воспользоваться методом дополнения до прямоугольника. Суть метода заключается в том, чтобы описать вокруг треугольника прямоугольник, стороны которого проходят через вершины треугольника и параллельны линиям сетки, а затем из площади этого прямоугольника вычесть площади "лишних" фигур (в данном случае — трех прямоугольных треугольников).

Сначала определим размеры прямоугольника, описанного вокруг треугольника. Его ширина (горизонтальный размер) равна 6 клеткам, а высота (вертикальный размер) — 3 клеткам. Поскольку по условию длина стороны клетки равна единице, площадь прямоугольника ($S_{прям}$) составляет: $S_{прям} = 6 \times 3 = 18$ квадратных единиц.

Далее, найдем площади трех прямоугольных треугольников, которые находятся в углах этого прямоугольника и дополняют исходный треугольник до него. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$, где $a$ и $b$ – длины его катетов.

• Первый треугольник (в левом нижнем углу) имеет катеты длиной 3 и 3 единицы. Его площадь: $S_1 = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4,5$ квадратных единиц.
• Второй треугольник (в правом верхнем углу) имеет катеты длиной 3 и 2 единицы. Его площадь: $S_2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3$ квадратные единицы.
• Третий треугольник (в правом нижнем углу) имеет катеты длиной 6 и 1 единицу. Его площадь: $S_3 = \frac{1}{2} \times 6 \times 1 = 3$ квадратные единицы.

Наконец, чтобы найти площадь искомого треугольника ($S_{иск}$), вычтем из площади прямоугольника сумму площадей этих трех треугольников: $S_{иск} = S_{прям} - (S_1 + S_2 + S_3) = 18 - (4,5 + 3 + 3) = 18 - 10,5 = 7,5$ квадратных единиц.

Ответ: 7,5