Номер 247, страница 98 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

247. В треугольнике $ABC$ известно, что $AC : CB = 2 : 5$. Найдите отношение высот треугольника, проведённых из вершин $A$ и $B$.

247. В треугольнике $ABC$ известно, что $AC : CB = 2 : 5$. Найдите отношение высот треугольника, проведённых из вершин $A$ и $B$.

Пусть $h_A$ и $h_B$ — высоты треугольника $ABC$, проведённые из вершин $A$ и $B$ соответственно. Высота $h_A$ проведена к стороне $BC$, а высота $h_B$ — к стороне $AC$.

Площадь треугольника $S$ можно выразить двумя способами через эти высоты и соответствующие им стороны:
$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_A$
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_B$

Поскольку оба выражения представляют площадь одного и того же треугольника, мы можем их приравнять:$\frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_A = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_B$

Умножим обе части равенства на 2, чтобы избавиться от дробей:$BC \cdot h_A = AC \cdot h_B$

Нам необходимо найти отношение высот, проведённых из вершин $A$ и $B$, то есть отношение $h_A$ к $h_B$. Выразим это отношение из полученного уравнения:$\frac{h_A}{h_B} = \frac{AC}{BC}$

Из условия задачи известно, что $AC : CB = 2 : 5$. Так как отрезок $CB$ — это та же сторона, что и $BC$, мы можем записать это отношение в виде дроби:$\frac{AC}{BC} = \frac{2}{5}$

Теперь подставим это значение в наше выражение для отношения высот:$\frac{h_A}{h_B} = \frac{2}{5}$

Таким образом, искомое отношение высот, проведённых из вершин $A$ и $B$, равно $2:5$. Это означает, что высота, проведённая к более длинной стороне ($BC$), короче высоты, проведённой к более короткой стороне ($AC$).

Ответ: $2:5$