Номер 251, страница 98 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

251. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 34 см, а один из катетов больше другого на 14 см.

251. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 34 см, а один из катетов больше другого на 14 см.

Пусть один катет прямоугольного треугольника равен $x$ см. По условию, другой катет на 14 см больше, следовательно, его длина составляет $(x + 14)$ см. Длина гипотенузы равна 34 см.

Воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы ($a^2 + b^2 = c^2$): $x^2 + (x + 14)^2 = 34^2$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду: $x^2 + (x^2 + 2 \cdot 14 \cdot x + 14^2) = 1156$ $x^2 + x^2 + 28x + 196 = 1156$ $2x^2 + 28x + 196 - 1156 = 0$ $2x^2 + 28x - 960 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2: $x^2 + 14x - 480 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-480) = 196 + 1920 = 2116$ $\sqrt{D} = \sqrt{2116} = 46$

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-14 - 46}{2 \cdot 1} = \frac{-60}{2} = -30$ $x_2 = \frac{-14 + 46}{2 \cdot 1} = \frac{32}{2} = 16$

Так как длина стороны треугольника не может быть отрицательной, то корень $x_1 = -30$ не подходит. Следовательно, длина одного катета равна 16 см.

Тогда длина второго катета равна $16 + 14 = 30$ см.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 30 = 8 \cdot 30 = 240$ см².

Ответ: 240 см².