Номер 254, страница 98 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

254. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 20 см, а разность диагоналей — 8 см.

254. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 20 см, а разность диагоналей — 8 см.

Пусть $a$ — сторона ромба, а $d_1$ и $d_2$ — его диагонали.
По условию задачи дано:
Сторона $a = 20$ см.
Разность диагоналей $d_1 - d_2 = 8$ см (будем считать, что $d_1$ — большая диагональ).

Ключевое свойство ромба заключается в том, что его диагонали пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Это означает, что сторона ромба ($a$) и половины его диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$) образуют прямоугольный треугольник, где сторона ромба является гипотенузой.

По теореме Пифагора для этого треугольника имеем:
$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$
Подставим известное значение $a = 20$:
$\frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = 20^2$
$\frac{d_1^2 + d_2^2}{4} = 400$
$d_1^2 + d_2^2 = 1600$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $d_1 - d_2 = 8$
2) $d_1^2 + d_2^2 = 1600$

Выразим $d_1$ из первого уравнения:
$d_1 = d_2 + 8$
Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
$(d_2 + 8)^2 + d_2^2 = 1600$
Раскроем скобки:
$(d_2^2 + 16d_2 + 64) + d_2^2 = 1600$
Приведем подобные члены:
$2d_2^2 + 16d_2 - 1536 = 0$
Для упрощения разделим все уравнение на 2:
$d_2^2 + 8d_2 - 768 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-768) = 64 + 3072 = 3136$
Найдем корень из дискриминанта:
$\sqrt{D} = \sqrt{3136} = 56$
Теперь найдем корни уравнения для $d_2$:
$d_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 56}{2}$
Так как длина диагонали не может быть отрицательной, мы выбираем только положительный корень:
$d_2 = \frac{-8 + 56}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.

Зная $d_2$, найдем $d_1$:
$d_1 = d_2 + 8 = 24 + 8 = 32$ см.

Площадь ромба ($S$) равна половине произведения его диагоналей:
$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$
Подставим найденные значения $d_1$ и $d_2$:
$S = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 24 = 16 \cdot 24 = 384$ см$^2$.

Ответ: 384 см$^2$.