Номер 260, страница 99 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

260. Точка $E$ делит медиану $BM$ треугольника $ABC$ в отношении 1 : 3, считая от точки $B$. Найдите отношение площадей треугольников:

1) $BCM$ и $ABE$;

2) $AEM$ и $ABC$.

260. Точка $E$ делит медиану $BM$ треугольника $ABC$ в отношении $1:3$, считая от точки $B$. Найдите отношение площадей треугольников:

1) $BCM$ и $ABE$;

2) $AEM$ и $ABC$.

Пусть $S_{ABC}$ — это площадь треугольника $ABC$.

Поскольку $BM$ является медианой, она делит треугольник $ABC$ на два треугольника с равной площадью:

$S_{ABM} = S_{BCM} = \frac{1}{2} S_{ABC}$

По условию, точка $E$ делит медиану $BM$ в отношении $BE:EM = 1:3$. Это означает, что отрезок $BE$ составляет одну часть, а отрезок $EM$ — три части, всего 4 части. Таким образом, $BE = \frac{1}{4} BM$ и $EM = \frac{3}{4} BM$.

Рассмотрим треугольники $ABE$ и $ABM$. Они имеют общую высоту, проведенную из вершины $A$ к прямой $BM$. Отношение площадей треугольников с общей высотой равно отношению длин их оснований:

$\frac{S_{ABE}}{S_{ABM}} = \frac{BE}{BM}$

Подставляя известное соотношение $BE = \frac{1}{4} BM$, получаем:

$\frac{S_{ABE}}{S_{ABM}} = \frac{\frac{1}{4} BM}{BM} = \frac{1}{4}$

Отсюда $S_{ABE} = \frac{1}{4} S_{ABM}$.

Так как $S_{ABM} = \frac{1}{2} S_{ABC}$, мы можем выразить $S_{ABE}$ через площадь всего треугольника:

$S_{ABE} = \frac{1}{4} \cdot S_{ABM} = \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{2} S_{ABC}) = \frac{1}{8} S_{ABC}$

Теперь найдем искомое отношение площадей $S_{BCM}$ и $S_{ABE}$:

$\frac{S_{BCM}}{S_{ABE}} = \frac{\frac{1}{2} S_{ABC}}{\frac{1}{8} S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{1} = 4$

Следовательно, отношение площадей $S_{BCM} : S_{ABE}$ равно 4:1.

Ответ: 4:1

Рассмотрим треугольники $AEM$ и $ABM$. У них также общая высота, проведенная из вершины $A$ к прямой $BM$. Отношение их площадей равно отношению оснований:

$\frac{S_{AEM}}{S_{ABM}} = \frac{EM}{BM}$

Подставляя известное соотношение $EM = \frac{3}{4} BM$, получаем:

$\frac{S_{AEM}}{S_{ABM}} = \frac{\frac{3}{4} BM}{BM} = \frac{3}{4}$

Отсюда $S_{AEM} = \frac{3}{4} S_{ABM}$.

Снова используя $S_{ABM} = \frac{1}{2} S_{ABC}$, найдем $S_{AEM}$:

$S_{AEM} = \frac{3}{4} \cdot S_{ABM} = \frac{3}{4} \cdot (\frac{1}{2} S_{ABC}) = \frac{3}{8} S_{ABC}$

Теперь найдем искомое отношение площадей $S_{AEM}$ и $S_{ABC}$:

$\frac{S_{AEM}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{3}{8} S_{ABC}}{S_{ABC}} = \frac{3}{8}$

Следовательно, отношение площадей $S_{AEM} : S_{ABC}$ равно 3:8.

Ответ: 3:8