Страница 99 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

256. Перпендикуляр, проведённый из середины основания равнобедренного треугольника к боковой стороне, делит её на отрезки длиной 9 см и 16 см. Найдите площадь треугольника.

256. Перпендикуляр, проведённый из середины основания равнобедренного треугольника к боковой стороне, делит её на отрезки длиной 9 см и 16 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть $\triangle ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $AC$. Тогда боковые стороны равны: $AB = BC$.

Пусть $M$ — середина основания $AC$. По свойству равнобедренного треугольника, медиана $BM$, проведённая к основанию, является также и высотой. Следовательно, $BM \perp AC$, и $\triangle BMC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$.

По условию задачи, из точки $M$ проведён перпендикуляр $MH$ к боковой стороне $BC$. Точка $H$ лежит на стороне $BC$ и делит её на отрезки длиной 9 см и 16 см. Таким образом, длина боковой стороны $BC$ равна сумме длин этих отрезков:

$BC = 9 + 16 = 25$ см.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle BMC$ (с прямым углом $\angle BMC$) и $\triangle MHC$ (с прямым углом $\angle MHC$). У этих треугольников есть общий острый угол $\angle C$. Следовательно, треугольники подобны по двум углам (в данном случае, по острому углу): $\triangle BMC \sim \triangle MHC$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{BC}{MC} = \frac{MC}{HC}$

Из этой пропорции можно выразить $MC$:

$MC^2 = BC \cdot HC$

Существует два возможных случая, в зависимости от того, какой из отрезков на стороне $BC$ является отрезком $HC$ (отрезок, примыкающий к основанию).

Случай 1: $HC = 16$ см

В этом случае, $BH = 9$ см. Используя выведенную формулу, найдём $MC$:

$MC^2 = 25 \cdot 16 = 400$

$MC = \sqrt{400} = 20$ см.

Поскольку $M$ — середина основания $AC$, длина основания равна $AC = 2 \cdot MC = 2 \cdot 20 = 40$ см.

Теперь найдём высоту $BM$, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle BMC$:

$BM^2 = BC^2 - MC^2 = 25^2 - 20^2 = 625 - 400 = 225$

$BM = \sqrt{225} = 15$ см.

Площадь треугольника $ABC$ вычисляется по формуле:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 15 = 300$ см$^2$.

Случай 2: $HC = 9$ см

В этом случае, $BH = 16$ см. Снова используем формулу для $MC$:

$MC^2 = 25 \cdot 9 = 225$

$MC = \sqrt{225} = 15$ см.

Длина основания $AC = 2 \cdot MC = 2 \cdot 15 = 30$ см.

Найдём высоту $BM$ из $\triangle BMC$:

$BM^2 = BC^2 - MC^2 = 25^2 - 15^2 = 625 - 225 = 400$

$BM = \sqrt{400} = 20$ см.

Площадь треугольника $ABC$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 20 = 300$ см$^2$.

В обоих случаях результат получается одинаковым.

Ответ: $300$ см$^2$.

257. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 35 см, а радиус вписанной окружности — 7 см.

257. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 35 см, а радиус вписанной окружности — 7 см.

Пусть $a$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника, а $c$ — его гипотенуза. Площадь $S$ такого треугольника равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2}ab$.

По условию задачи даны гипотенуза $c = 35$ см и радиус вписанной окружности $r = 7$ см.

Для прямоугольного треугольника существует формула, связывающая радиус вписанной окружности с его сторонами:$r = \frac{a+b-c}{2}$

Из этой формулы можно выразить сумму катетов $a+b$:$a+b = 2r + c$

Подставим известные значения:$a+b = 2 \cdot 7 + 35 = 14 + 35 = 49$ см.

Теперь рассмотрим другую формулу для площади треугольника, через радиус вписанной окружности и полупериметр $p$:$S = p \cdot r$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$.

Мы можем вычислить полупериметр, так как нам известна сумма всех сторон:$p = \frac{(a+b)+c}{2} = \frac{49+35}{2} = \frac{84}{2} = 42$ см.

Теперь найдем площадь треугольника:$S = p \cdot r = 42 \cdot 7 = 294$ см².

Альтернативный способ:
Мы нашли, что $a+b = 49$. По теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2 = 35^2 = 1225$.
Возведем сумму катетов в квадрат:$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$
$49^2 = 1225 + 2ab$
$2401 = 1225 + 2ab$
$2ab = 2401 - 1225 = 1176$
Площадь треугольника $S = \frac{1}{2}ab$. Умножив на 2, получим $2S = ab$.Так как $2ab = 1176$, то $ab = \frac{1176}{2} = 588$.
Тогда площадь $S = \frac{1}{2} \cdot 588 = 294$ см².

Ответ: 294 см².

258. В прямоугольный треугольник ABC ($\angle B = 90^\circ$) вписана окружность с центром O (рис. 122), K — точка касания окружности со стороной AB. Найдите площадь треугольника ABC, если $BK = 4\sqrt{3}$ см, $\angle C = 30^\circ$.

Рис. 122

258. В прямоугольный треугольник $ABC (\angle B = 90^\circ)$ вписана окружность с центром $O$ (рис. 122), $K$ — точка касания окружности со стороной $AB$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $BK = 4\sqrt{3}$ см, $\angle C = 30^\circ$.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $\angle B = 90^\circ$. В него вписана окружность с центром $O$ и радиусом $r$. Точки касания окружности со сторонами $AB$, $BC$ и $AC$ обозначим как $K$, $M$ и $N$ соответственно. По условию, $K$ — точка касания со стороной $AB$, $BK = 4\sqrt{3}$ см, а $\angle C = 30^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $BKOM$. Так как радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным, то $OK \perp AB$ и $OM \perp BC$. Следовательно, углы $\angle OKB$ и $\angle OMB$ прямые. Угол $\angle B$ также прямой по условию. Таким образом, $BKOM$ — прямоугольник. Поскольку смежные стороны $OK$ и $OM$ равны как радиусы одной окружности ($OK = OM = r$), четырехугольник $BKOM$ является квадратом.

Из этого следует, что $BK = BM = OK = OM = r$. По условию $BK = 4\sqrt{3}$ см, значит, радиус вписанной окружности $r = 4\sqrt{3}$ см.

Найдем углы треугольника $ABC$. Известно, что $\angle B = 90^\circ$ и $\angle C = 30^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle A = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC$. Для ее нахождения необходимо найти длины катетов $AB$ и $BC$. Катеты состоят из отрезков: $AB = AK + KB$ и $BC = CM + MB$. Мы знаем, что $KB = MB = r = 4\sqrt{3}$ см.

По свойству отрезков касательных, проведенных из одной вершины к окружности, имеем $AK = AN$. Центр вписанной окружности $O$ лежит на биссектрисе угла $A$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AKO$ ($\angle AKO = 90^\circ$). Угол $\angle KAO$ равен половине угла $A$: $\angle KAO = \frac{1}{2}\angle A = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Из треугольника $AKO$ найдем $AK$ через тангенс: $\text{tg}(\angle KAO) = \frac{OK}{AK}$, откуда $AK = \frac{OK}{\text{tg}(\angle KAO)} = \frac{r}{\text{tg}(30^\circ)}$. Подставив значения, получаем: $AK = \frac{4\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Теперь можем найти длину катета $AB$: $AB = AK + KB = 12 + 4\sqrt{3}$ см.

Длину катета $BC$ можно найти из основного треугольника $ABC$ через тангенс угла $C$: $\text{tg}(\angle C) = \frac{AB}{BC}$, откуда $BC = \frac{AB}{\text{tg}(\angle C)} = \frac{12 + 4\sqrt{3}}{\text{tg}(30^\circ)}$. Подставив значения, получаем: $BC = \frac{12 + 4\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = (12 + 4\sqrt{3})\sqrt{3} = 12\sqrt{3} + 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 12\sqrt{3} + 4 \cdot 3 = 12 + 12\sqrt{3}$ см.

Наконец, вычислим площадь треугольника $ABC$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC = \frac{1}{2} (12 + 4\sqrt{3})(12 + 12\sqrt{3})$. Вынесем общие множители для упрощения: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 4(3 + \sqrt{3}) \cdot 12(1 + \sqrt{3}) = 2 \cdot 12 \cdot (3 + \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})$. Раскроем скобки: $S_{ABC} = 24 \cdot (3 \cdot 1 + 3\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = 24 \cdot (3 + 3\sqrt{3} + \sqrt{3} + 3)$. $S_{ABC} = 24 \cdot (6 + 4\sqrt{3}) = 144 + 96\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $144 + 96\sqrt{3}$ см$^2$.

259. Площадь треугольника $ABC$ равна $42 \text{ см}^2$. Точка $K$ делит сторону $AC$ в отношении $2 : 5$, считая от точки $A$. Найдите площади треугольников $ABK$ и $KBC$.

259. Площадь треугольника $ABC$ равна $42 \text{ см}^2$. Точка $K$ делит сторону $AC$ в отношении $2:5$, считая от точки $A$. Найдите площади треугольников $ABK$ и $KBC$.

Рассмотрим треугольники $ABK$ и $KBC$. У них есть общая вершина $B$, а их основания $AK$ и $KC$ лежат на одной прямой $AC$. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на сторону $AC$. Эта высота будет общей для треугольников $ABK$ и $KBC$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — основание, а $h$ — высота. Для наших треугольников: $S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot BH$
$S_{KBC} = \frac{1}{2} \cdot KC \cdot BH$

Найдем отношение площадей этих треугольников: $$ \frac{S_{ABK}}{S_{KBC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AK \cdot BH}{\frac{1}{2} \cdot KC \cdot BH} = \frac{AK}{KC} $$ Это означает, что площади треугольников с общей высотой относятся так же, как и длины их оснований.

По условию задачи, точка $K$ делит сторону $AC$ в отношении $2:5$, считая от точки $A$, то есть $AK:KC = 2:5$. Следовательно, отношение площадей треугольников также равно $2:5$: $S_{ABK} : S_{KBC} = 2:5$.

Сумма площадей треугольников $ABK$ и $KBC$ равна площади всего треугольника $ABC$: $S_{ABK} + S_{KBC} = S_{ABC} = 42 \text{ см}^2$.

Таким образом, общую площадь в $42 \text{ см}^2$ необходимо разделить в отношении $2:5$. Общее количество частей в этом отношении составляет $2 + 5 = 7$ частей.

Найдем, какая площадь приходится на одну часть: $ \frac{42}{7} = 6 \text{ см}^2 $.

Площадь треугольника ABK
Площадь этого треугольника соответствует 2 частям. Следовательно, $S_{ABK} = 2 \cdot 6 = 12 \text{ см}^2$.
Ответ: $12 \text{ см}^2$.

Площадь треугольника KBC
Площадь этого треугольника соответствует 5 частям. Следовательно, $S_{KBC} = 5 \cdot 6 = 30 \text{ см}^2$.
Ответ: $30 \text{ см}^2$.

260. Точка $E$ делит медиану $BM$ треугольника $ABC$ в отношении 1 : 3, считая от точки $B$. Найдите отношение площадей треугольников:

1) $BCM$ и $ABE$;

2) $AEM$ и $ABC$.

260. Точка $E$ делит медиану $BM$ треугольника $ABC$ в отношении $1:3$, считая от точки $B$. Найдите отношение площадей треугольников:

1) $BCM$ и $ABE$;

2) $AEM$ и $ABC$.

Пусть $S_{ABC}$ — это площадь треугольника $ABC$.

Поскольку $BM$ является медианой, она делит треугольник $ABC$ на два треугольника с равной площадью:

$S_{ABM} = S_{BCM} = \frac{1}{2} S_{ABC}$

По условию, точка $E$ делит медиану $BM$ в отношении $BE:EM = 1:3$. Это означает, что отрезок $BE$ составляет одну часть, а отрезок $EM$ — три части, всего 4 части. Таким образом, $BE = \frac{1}{4} BM$ и $EM = \frac{3}{4} BM$.

Рассмотрим треугольники $ABE$ и $ABM$. Они имеют общую высоту, проведенную из вершины $A$ к прямой $BM$. Отношение площадей треугольников с общей высотой равно отношению длин их оснований:

$\frac{S_{ABE}}{S_{ABM}} = \frac{BE}{BM}$

Подставляя известное соотношение $BE = \frac{1}{4} BM$, получаем:

$\frac{S_{ABE}}{S_{ABM}} = \frac{\frac{1}{4} BM}{BM} = \frac{1}{4}$

Отсюда $S_{ABE} = \frac{1}{4} S_{ABM}$.

Так как $S_{ABM} = \frac{1}{2} S_{ABC}$, мы можем выразить $S_{ABE}$ через площадь всего треугольника:

$S_{ABE} = \frac{1}{4} \cdot S_{ABM} = \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{2} S_{ABC}) = \frac{1}{8} S_{ABC}$

Теперь найдем искомое отношение площадей $S_{BCM}$ и $S_{ABE}$:

$\frac{S_{BCM}}{S_{ABE}} = \frac{\frac{1}{2} S_{ABC}}{\frac{1}{8} S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{1} = 4$

Следовательно, отношение площадей $S_{BCM} : S_{ABE}$ равно 4:1.

Ответ: 4:1

Рассмотрим треугольники $AEM$ и $ABM$. У них также общая высота, проведенная из вершины $A$ к прямой $BM$. Отношение их площадей равно отношению оснований:

$\frac{S_{AEM}}{S_{ABM}} = \frac{EM}{BM}$

Подставляя известное соотношение $EM = \frac{3}{4} BM$, получаем:

$\frac{S_{AEM}}{S_{ABM}} = \frac{\frac{3}{4} BM}{BM} = \frac{3}{4}$

Отсюда $S_{AEM} = \frac{3}{4} S_{ABM}$.

Снова используя $S_{ABM} = \frac{1}{2} S_{ABC}$, найдем $S_{AEM}$:

$S_{AEM} = \frac{3}{4} \cdot S_{ABM} = \frac{3}{4} \cdot (\frac{1}{2} S_{ABC}) = \frac{3}{8} S_{ABC}$

Теперь найдем искомое отношение площадей $S_{AEM}$ и $S_{ABC}$:

$\frac{S_{AEM}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{3}{8} S_{ABC}}{S_{ABC}} = \frac{3}{8}$

Следовательно, отношение площадей $S_{AEM} : S_{ABC}$ равно 3:8.

Ответ: 3:8

261. В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 10$ см, $BC = 12$ см, отрезок $CK$ — биссектриса треугольника. Найдите отношение площадей треугольников $ACK$ и $BCK$.

261. В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 10$ см, $BC = 12$ см, отрезок $CK$ — биссектриса треугольника. Найдите отношение площадей треугольников $ACK$ и $BCK$.

Отношение площадей треугольников $ACK$ и $BCK$ можно найти, используя свойство биссектрисы и формулу площади треугольника.

Способ 1: Через общую высоту.

Рассмотрим треугольники $ACK$ и $BCK$. Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ к стороне $AB$. Эта высота будет общей для обоих треугольников. Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.
Площадь треугольника $ACK$ равна $S_{ACK} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot CH$.
Площадь треугольника $BCK$ равна $S_{BCK} = \frac{1}{2} \cdot BK \cdot CH$.

Найдем отношение их площадей:
$\frac{S_{ACK}}{S_{BCK}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AK \cdot CH}{\frac{1}{2} \cdot BK \cdot CH} = \frac{AK}{BK}$

По свойству биссектрисы треугольника, биссектриса $CK$ делит противолежащую сторону $AB$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам $AC$ и $BC$:
$\frac{AK}{BK} = \frac{AC}{BC}$

Следовательно, отношение площадей треугольников $ACK$ и $BCK$ равно отношению сторон $AC$ и $BC$:
$\frac{S_{ACK}}{S_{BCK}} = \frac{AC}{BC}$

Подставляем известные значения $AC = 10$ см и $BC = 12$ см:
$\frac{S_{ACK}}{S_{BCK}} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

Способ 2: Через формулу площади с синусом угла.

Площадь треугольника также можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$, где $a$ и $b$ – стороны, а $\gamma$ – угол между ними.
Так как $CK$ – биссектриса, то $\angle ACK = \angle BCK$. Обозначим этот угол как $\alpha$.
$S_{ACK} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CK \cdot \sin(\alpha)$
$S_{BCK} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CK \cdot \sin(\alpha)$

Найдем отношение площадей:
$\frac{S_{ACK}}{S_{BCK}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AC \cdot CK \cdot \sin(\alpha)}{\frac{1}{2} \cdot BC \cdot CK \cdot \sin(\alpha)} = \frac{AC}{BC}$

Подставляя значения, получаем тот же результат:
$\frac{S_{ACK}}{S_{BCK}} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$

262. Через вершину треугольника проведите прямую так, чтобы она разбила его на два треугольника, площади которых относятся как $4 : 1$.

262. Через вершину треугольника проведите прямую так, чтобы она разбила его на два треугольника, площади которых относятся как $4 : 1$.

Пусть дан треугольник $ABC$. Требуется провести прямую через одну из его вершин, например, через вершину $B$. Такая прямая пересечет противолежащую сторону $AC$ в некоторой точке $D$ и разделит исходный треугольник на два: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Найдем отношение площадей этих двух треугольников. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на сторону $AC$. Эта высота $BH$ будет общей для обоих треугольников. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, поэтому:

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH$

$S_{CBD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot BH$

Отношение их площадей равно:

$\frac{S_{ABD}}{S_{CBD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH}{\frac{1}{2} \cdot CD \cdot BH} = \frac{AD}{CD}$

Из этого следует, что отношение площадей двух треугольников, имеющих общую высоту, равно отношению их оснований.

По условию задачи, площади должны относиться как $4:1$. Следовательно, точка $D$ должна делить сторону $AC$ в отношении $4:1$, то есть $\frac{AD}{CD} = \frac{4}{1}$ (или $\frac{AD}{CD} = \frac{1}{4}$, что также является решением, если не уточняется, какой из треугольников должен иметь большую площадь).

Таким образом, задача сводится к построению точки $D$ на стороне $AC$, которая делит ее в отношении $4:1$. Для этого необходимо разделить отрезок $AC$ на $4+1=5$ равных частей. Точка $D$ будет четвертой точкой деления, если считать от $A$ (для отношения $4:1$) или первой (для отношения $1:4$). После нахождения точки $D$ следует провести прямую через точки $B$ и $D$. Эта прямая и будет искомой.

Разделить отрезок на 5 равных частей можно стандартным способом с помощью циркуля и линейки, используя теорему Фалеса.

Ответ: Необходимо провести прямую из любой вершины треугольника к точке на противоположной стороне, которая делит эту сторону в отношении $4:1$. Для этого нужно разделить противоположную сторону на 5 равных частей и соединить вершину с точкой деления, которая отстоит от одного конца стороны на 4 части, а от другого — на 1 часть.

263. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 10 см и 14 см, а высота — 5 см.

263. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 10 см и 14 см, а высота – 5 см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле, где полусумма оснований умножается на высоту:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$,

где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота трапеции.

В данной задаче нам даны следующие значения:

• основание $a = 10$ см
• основание $b = 14$ см
• высота $h = 5$ см

Подставим эти значения в формулу для нахождения площади:

$S = \frac{10 + 14}{2} \cdot 5$

Сначала вычислим сумму оснований:

$10 + 14 = 24$ см

Теперь разделим сумму оснований на 2:

$\frac{24}{2} = 12$ см

И, наконец, умножим полученное значение на высоту:

$S = 12 \cdot 5 = 60$ см²

Ответ: 60 см²

264. Площадь трапеции равна 98 см$^2$, одно из оснований — 12 см, а высота — 7 см. Найдите другое основание трапеции.

264. Площадь трапеции равна 98 $см^2$, одно из оснований — 12 см, а высота — 7 см. Найдите другое основание трапеции.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $S$ — площадь, $a$ и $b$ — основания трапеции, а $h$ — высота.

Из условия задачи нам даны:

• Площадь $S = 98 \text{ см}^2$
• Одно из оснований (обозначим его как $a$) $a = 12 \text{ см}$
• Высота $h = 7 \text{ см}$

Необходимо найти второе основание (обозначим его как $b$).

Подставим известные значения в формулу площади:

$98 = \frac{12+b}{2} \cdot 7$

Чтобы решить это уравнение относительно $b$, сначала выразим сумму оснований $(12+b)$:

$12+b = \frac{98 \cdot 2}{7}$

$12+b = \frac{196}{7}$

$12+b = 28$

Теперь найдем $b$, вычтя из полученной суммы известное основание:

$b = 28 - 12$

$b = 16$

Таким образом, второе основание трапеции равно 16 см.

Ответ: 16 см.

265. Площадь трапеции равна 50 $см^2$, а её высота — 5 см. Найдите основания трапеции, если одно из них в 4 раза больше другого.

265. Площадь трапеции равна 50 $см^2$, а её высота — 5 см. Найдите основания трапеции, если одно из них в 4 раза больше другого.

Для решения задачи воспользуемся формулой площади трапеции:

$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$, где $S$ — площадь, $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота.

Согласно условию, нам даны:

• Площадь $S = 50 \text{ см}^2$
• Высота $h = 5 \text{ см}$
• Одно основание в 4 раза больше другого.

Обозначим длину меньшего основания как $x$ см. Тогда длина большего основания будет $4x$ см.

Подставим известные значения в формулу площади и составим уравнение:

$50 = \frac{x + 4x}{2} \cdot 5$

Теперь решим это уравнение относительно $x$.

1. Сложим значения в числителе:

$50 = \frac{5x}{2} \cdot 5$

2. Умножим дробь на 5:

$50 = \frac{25x}{2}$

3. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$50 \cdot 2 = 25x$

$100 = 25x$

4. Найдем $x$, разделив обе части на 25:

$x = \frac{100}{25}$

$x = 4$

Таким образом, меньшее основание трапеции равно 4 см.

Найдем большее основание:

$4x = 4 \cdot 4 = 16$ см.

Проверим полученные результаты, подставив их в формулу площади:

$S = \frac{4 + 16}{2} \cdot 5 = \frac{20}{2} \cdot 5 = 10 \cdot 5 = 50 \text{ см}^2$.

Результат совпадает с условием, следовательно, основания найдены верно.

Ответ: основания трапеции равны 4 см и 16 см.