Страница 106 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 7

Тема. Обобщение и систематизация знаний учащихся

за курс 8 класса

1. Найдите углы параллелограмма, если один из них на $26^{\circ}$ больше другого.

2. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $M$. Меньшее основание $BC$ равно 5 см, $BM = 6$ см, $AB = 12$ см. Найдите большее основание трапеции.

3. Высота $AM$ треугольника $ABC$ делит его сторону $BC$ на отрезки $BM$ и $MC$. Найдите сторону $AC$, если $AB = 10\sqrt{2}$ см, $MC = 24$ см, $\angle B = 45^{\circ}$.

4. Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 20 см, а диагональ является биссектрисой её тупого угла. Найдите площадь трапеции.

5. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на её диаметр, делит его на два отрезка, один из которых на 27 см больше другого. Найдите радиус окружности, если длина данного перпендикуляра равна 18 см.

Контрольная работа № 7

Тема. Обобщение и систематизация знаний учащихся за курс 8 класса

1. Найдите углы параллелограмма, если один из них на $26^\circ$ больше другого.

2. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $M$. Меньшее основание $BC$ равно 5 см, $BM = 6$ см, $AB = 12$ см. Найдите большее основание трапеции.

3. Высота $AM$ треугольника $ABC$ делит его сторону $BC$ на отрезки $BM$ и $MC$. Найдите сторону $AC$, если $AB = 10\sqrt{2}$ см, $MC = 24$ см, $\angle B = 45^\circ$.

4. Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 20 см, а диагональ является биссектрисой её тупого угла. Найдите площадь трапеции.

5. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на её диаметр, делит его на два отрезка, один из которых на 27 см больше другого. Найдите радиус окружности, если длина данного перпендикуляра равна 18 см.

1.В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180°$. Противоположные углы равны. Если один угол на $26°$ больше другого, то это могут быть только соседние углы.
Пусть один угол равен $x$. Тогда смежный с ним угол равен $x + 26°$.
Составим уравнение, исходя из свойства углов параллелограмма:
$x + (x + 26°) = 180°$
$2x + 26° = 180°$
$2x = 180° - 26°$
$2x = 154°$
$x = 77°$
Один угол равен $77°$. Второй угол равен $77° + 26° = 103°$.
Два других угла равны этим двум, так как противоположные углы в параллелограмме равны.
Таким образом, углы параллелограмма равны $77°, 103°, 77°, 103°$.
Ответ: $77°, 103°, 77°, 103°$.

2.Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, причем $BC$ — меньшее основание. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$.
Рассмотрим треугольники $\triangle MBC$ и $\triangle MAD$.
Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то углы при секущих $AM$ и $DM$ будут равны:
$\angle MBC = \angle MAD$ (как соответственные углы при $BC \parallel AD$ и секущей $AM$).
$\angle MCB = \angle MDA$ (как соответственные углы при $BC \parallel AD$ и секущей $DM$).
Следовательно, треугольники $\triangle MBC$ и $\triangle MAD$ подобны по двум углам.
Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:
$\frac{MB}{MA} = \frac{BC}{AD}$
По условию задачи нам дано: $BC = 5$ см, $BM = 6$ см, $AB = 12$ см.
Найдем длину стороны $MA$:
$MA = MB + AB = 6 + 12 = 18$ см.
Подставим известные значения в пропорцию:
$\frac{6}{18} = \frac{5}{AD}$
$\frac{1}{3} = \frac{5}{AD}$
$AD = 5 \cdot 3 = 15$ см.
Ответ: 15 см.

3.Высота $AM$ в треугольнике $ABC$ перпендикулярна стороне $BC$, поэтому $\triangle AMB$ и $\triangle AMC$ — прямоугольные треугольники.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AMB$. В нем известны гипотенуза $AB = 10\sqrt{2}$ см и угол $\angle B = 45°$.
Найдем катет $AM$ (высоту треугольника $ABC$):
$AM = AB \cdot \sin(\angle B) = 10\sqrt{2} \cdot \sin(45°) = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{10 \cdot 2}{2} = 10$ см.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AMC$. В нем известны два катета: $AM = 10$ см и $MC = 24$ см (по условию).
Найдем гипотенузу $AC$ по теореме Пифагора:
$AC^2 = AM^2 + MC^2$
$AC^2 = 10^2 + 24^2$
$AC^2 = 100 + 576$
$AC^2 = 676$
$AC = \sqrt{676} = 26$ см.
Ответ: 26 см.

4.Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD = 20$ см и $BC = 12$ см. Диагональ $AC$ является биссектрисой тупого угла $\angle BCD$.
По определению биссектрисы, $\angle BCA = \angle ACD$.
Так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны как накрест лежащие при секущей $AC$.
Следовательно, $\angle ACD = \angle CAD$. Это означает, что треугольник $\triangle ACD$ является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $CD = AD$.
Поскольку $AD = 20$ см, то боковая сторона трапеции $CD = 20$ см.
Для нахождения площади трапеции $S = \frac{a+b}{2}h$ нам нужно найти высоту $h$.
Проведем высоту $CK$ из вершины $C$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $KD$ можно найти по формуле:
$KD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{20 - 12}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CKD$. По теореме Пифагора найдем катет $CK$, который является высотой трапеции $h$:
$h^2 = CD^2 - KD^2$
$h^2 = 20^2 - 4^2 = 400 - 16 = 384$
$h = \sqrt{384} = \sqrt{64 \cdot 6} = 8\sqrt{6}$ см.
Теперь найдем площадь трапеции:
$S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h = \frac{20+12}{2} \cdot 8\sqrt{6} = \frac{32}{2} \cdot 8\sqrt{6} = 16 \cdot 8\sqrt{6} = 128\sqrt{6}$ см$^2$.
Ответ: $128\sqrt{6}$ см$^2$.

5.Пусть $h$ — длина перпендикуляра, опущенного из точки на окружности на ее диаметр. Этот перпендикуляр является высотой прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, гипотенузой которого служит диаметр.
Высота, проведенная к гипотенузе, равна среднему геометрическому отрезков, на которые она делит гипотенузу.
Пусть диаметр делится на отрезки $d_1$ и $d_2$. По условию, $h = 18$ см.
Пусть $d_2 = x$ см, тогда $d_1 = x + 27$ см.
Используем свойство высоты:
$h^2 = d_1 \cdot d_2$
$18^2 = (x + 27) \cdot x$
$324 = x^2 + 27x$
$x^2 + 27x - 324 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 27^2 - 4(1)(-324) = 729 + 1296 = 2025$.
$\sqrt{D} = \sqrt{2025} = 45$.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-27 \pm 45}{2}$.
Так как длина отрезка не может быть отрицательной, выбираем корень со знаком плюс:
$x = \frac{-27 + 45}{2} = \frac{18}{2} = 9$.
Итак, один отрезок $d_2 = 9$ см, а второй $d_1 = 9 + 27 = 36$ см.
Диаметр окружности равен сумме этих отрезков:
$D = d_1 + d_2 = 36 + 9 = 45$ см.
Радиус окружности равен половине диаметра:
$R = \frac{D}{2} = \frac{45}{2} = 22.5$ см.
Ответ: 22,5 см.