Страница 109 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4

Тема. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора

1. Катет прямоугольного треугольника равен 30 см, а его проекция на гипотенузу — 18 см. Найдите гипотенузу треугольника.

2. В прямоугольном треугольнике катеты равны 8 см и 15 см. Найдите периметр треугольника.

3. Сторона ромба равна 10 см, а одна из диагоналей — 16 см. Найдите вторую диагональ ромба.

4. Высота $AK$ остроугольного равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$) равна 12 см, а $KB = 9$ см. Найдите основание треугольника $ABC$.

5. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых равны 13 см и 15 см. Найдите расстояние от точки до прямой, если разность проекций наклонных на эту прямую равна 4 см.

6. Окружность, вписанная в равнобокую трапецию, делит точкой касания боковую сторону на отрезки длиной 2 см и 32 см. Найдите высоту трапеции.

Контрольная работа № 4

Тема. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора

1. Катет прямоугольного треугольника равен 30 см, а его проекция на гипотенузу — 18 см. Найдите гипотенузу треугольника.

2. В прямоугольном треугольнике катеты равны 8 см и 15 см. Найдите периметр треугольника.

3. Сторона ромба равна 10 см, а одна из диагоналей — 16 см. Найдите вторую диагональ ромба.

4. Высота $AK$ остроугольного равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$) равна 12 см, а $KB = 9$ см. Найдите основание треугольника $ABC$.

5. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых равны 13 см и 15 см. Найдите расстояние от точки до прямой, если разность проекций наклонных на эту прямую равна 4 см.

6. Окружность, вписанная в равнобокую трапецию, делит точкой касания боковую сторону на отрезки длиной 2 см и 32 см. Найдите высоту трапеции.

1.

Пусть дан прямоугольный треугольник, $a$ — его катет, $a_c$ — проекция этого катета на гипотенузу $c$.
По условию, $a = 30$ см, $a_c = 18$ см.
В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу:
$a^2 = c \cdot a_c$
Подставим известные значения в формулу:
$30^2 = c \cdot 18$
$900 = 18c$
Теперь найдем гипотенузу $c$:
$c = \frac{900}{18} = 50$ см.
Ответ: 50 см.

2.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a = 8$ см и $b = 15$ см.
Для нахождения периметра $P$ треугольника нужно найти длину гипотенузы $c$.
По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$c^2 = a^2 + b^2$
$c^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$
$c = \sqrt{289} = 17$ см.
Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон:
$P = a + b + c = 8 + 15 + 17 = 40$ см.
Ответ: 40 см.

3.

Диагонали ромба перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.
Пусть сторона ромба $a = 10$ см, а диагонали $d_1 = 16$ см и $d_2$.
Катеты одного из таких прямоугольных треугольников равны половинам диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$), а гипотенуза — стороне ромба $a$.
По теореме Пифагора:
$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$
Подставим известные значения: $\frac{d_1}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.
$8^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 10^2$
$64 + (\frac{d_2}{2})^2 = 100$
$(\frac{d_2}{2})^2 = 100 - 64 = 36$
$\frac{d_2}{2} = \sqrt{36} = 6$ см.
$d_2 = 6 \cdot 2 = 12$ см.
Ответ: 12 см.

4.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$, где $AB = BC$. Высота $AK$ проведена к боковой стороне $BC$.
По условию $AK = 12$ см, $KB = 9$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $AKB$ (угол $AKB = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем сторону $AB$:
$AB^2 = AK^2 + KB^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$
$AB = \sqrt{225} = 15$ см.
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $BC = AB = 15$ см.
Сторона $BC$ состоит из отрезков $BK$ и $KC$:
$BC = BK + KC$
$15 = 9 + KC$
$KC = 15 - 9 = 6$ см.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AKC$ (угол $AKC = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем основание $AC$:
$AC^2 = AK^2 + KC^2 = 12^2 + 6^2 = 144 + 36 = 180$
$AC = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$ см.
Ответ: $6\sqrt{5}$ см.

5.

Пусть из точки $A$ к прямой $l$ проведен перпендикуляр $AH$ (расстояние) и две наклонные $AB = 13$ см и $AC = 15$ см.
$HB$ и $HC$ — проекции наклонных на прямую $l$. Пусть $AH = h$.
Известно, что разность проекций равна 4 см. Большая наклонная имеет большую проекцию, поэтому $HC - HB = 4$ см.
Обозначим $HB = x$, тогда $HC = x + 4$.
Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $AHB$ и $AHC$.
Из $\triangle AHB$ по теореме Пифагора: $h^2 + x^2 = 13^2 \implies h^2 = 169 - x^2$.
Из $\triangle AHC$ по теореме Пифагора: $h^2 + (x+4)^2 = 15^2 \implies h^2 = 225 - (x+4)^2$.
Приравняем выражения для $h^2$:
$169 - x^2 = 225 - (x+4)^2$
$169 - x^2 = 225 - (x^2 + 8x + 16)$
$169 - x^2 = 225 - x^2 - 8x - 16$
$169 = 209 - 8x$
$8x = 209 - 169 = 40$
$x = 5$ см.
Теперь найдем расстояние $h$:
$h^2 = 169 - x^2 = 169 - 5^2 = 169 - 25 = 144$
$h = \sqrt{144} = 12$ см.
Ответ: 12 см.

6.

Пусть дана равнобокая трапеция, в которую вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону на отрезки длиной 2 см и 32 см.
Длина боковой стороны трапеции равна сумме этих отрезков: $c = 2 + 32 = 34$ см.
Пусть $O$ — центр вписанной окружности. Соединим центр с вершинами боковой стороны $B$ и $C$. Получим треугольник $BOC$.
$OB$ и $OC$ являются биссектрисами углов $B$ и $C$ трапеции. Так как основания трапеции параллельны, сумма углов при боковой стороне равна $180^\circ$: $\angle B + \angle C = 180^\circ$.
Тогда сумма половин этих углов в треугольнике $BOC$ равна $\angle OBC + \angle OCB = \frac{\angle B}{2} + \frac{\angle C}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$.
Следовательно, треугольник $BOC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$.
Радиус окружности $r$, проведенный в точку касания $K$ на стороне $BC$, является высотой этого прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе.
По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, ее квадрат равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу:
$r^2 = BK \cdot KC = 2 \cdot 32 = 64$
$r = \sqrt{64} = 8$ см.
Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности, то есть $h = 2r$.
$h = 2 \cdot 8 = 16$ см.
Ответ: 16 см.

Контрольная работа № 5

Тема. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника.

Решение прямоугольных треугольников

1. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $AC = 8$ см, $BC = 6$ см. Найдите:
1) $ctgB$;
2) $sinA$.

2. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) известно, что $AC = 12$ см, $tgA = 0,8$. Найдите катет $BC$.

3. Найдите значение выражения $\cos^2 30^\circ + \sin^2 52^\circ + \cos^2 52^\circ$.

4. Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а боковая сторона — 13 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла между боковой стороной треугольника и высотой, проведённой к его основанию.

5. Высота $BD$ треугольника $ABC$ делит сторону $AC$ на отрезки $AD$ и $CD$, $AB = 12$ см, $\angle A = 60^\circ$, $\angle CBD = 30^\circ$. Найдите отрезок $CD$.

6. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, а угол между боковой стороной и большим основанием трапеции равен $\alpha$. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если её высота равна $h$.

Контрольная работа № 5

Тема. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника.

Решение прямоугольных треугольников

1. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $AC = 8$ см, $BC = 6$ см. Найдите:

1) $ctgB$; 2) $sinA$.

2. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) известно, что $AC = 12$ см, $tgA = 0,8$. Найдите катет $BC$.

3. Найдите значение выражения $cos^2 30^\circ + sin^2 52^\circ + cos^2 52^\circ$.

4. Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а боковая сторона — 13 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла между боковой стороной треугольника и высотой, проведённой к его основанию.

5. Высота $BD$ треугольника $ABC$ делит сторону $AC$ на отрезки $AD$ и $CD$, $AB = 12$ см, $\angle A = 60^\circ$, $\angle CBD = 30^\circ$. Найдите отрезок $CD$.

6. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, а угол между боковой стороной и большим основанием трапеции равен $\alpha$. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если её высота равна $h$.

1.

В прямоугольном треугольнике ABC с $\angle C = 90^\circ$, катеты $AC = 8$ см и $BC = 6$ см.

1) ctgB;

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к противолежащему. Для угла B прилежащим катетом является BC, а противолежащим — AC.

$\text{ctg}B = \frac{BC}{AC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$.

2) sinA.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Для угла A противолежащим катетом является BC. Найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$

$AB = \sqrt{100} = 10$ см

Теперь найдем синус угла A:

$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Ответ: $\frac{3}{5}$.

2.

В прямоугольном треугольнике ABC ($\angle C = 90^\circ$) известен катет $AC = 12$ см и тангенс угла A: $\text{tg}A = 0.8$.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему. Для угла A противолежащим катетом является BC, а прилежащим — AC.

$\text{tg}A = \frac{BC}{AC}$

Подставим известные значения:

$0.8 = \frac{BC}{12}$

$BC = 12 \cdot 0.8 = 9.6$ см

Ответ: 9,6 см.

3.

Требуется найти значение выражения $\cos^2 30^\circ + \sin^2 52^\circ + \cos^2 52^\circ$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Для $\alpha = 52^\circ$ имеем $\sin^2 52^\circ + \cos^2 52^\circ = 1$.

Тогда выражение упрощается до $\cos^2 30^\circ + 1$.

Значение $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, $\cos^2 30^\circ = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$.

Окончательный результат: $\frac{3}{4} + 1 = \frac{7}{4}$.

Ответ: $\frac{7}{4}$.

4.

Дан равнобедренный треугольник с основанием 10 см и боковой стороной 13 см. Нужно найти синус, косинус, тангенс и котангенс угла между боковой стороной и высотой, проведенной к основанию.

Пусть треугольник ABC — равнобедренный, с основанием $AC = 10$ см и боковыми сторонами $AB = BC = 13$ см. Проведем высоту BH к основанию AC.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, она делит основание пополам: $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH ($\angle AHB = 90^\circ$). Найдем высоту BH по теореме Пифагора:

$BH^2 = AB^2 - AH^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$

$BH = \sqrt{144} = 12$ см

Искомый угол — это угол ABH. Найдем его тригонометрические функции в треугольнике ABH:

$\sin(\angle ABH) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AB} = \frac{5}{13}$

$\cos(\angle ABH) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BH}{AB} = \frac{12}{13}$

$\tan(\angle ABH) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AH}{BH} = \frac{5}{12}$

$\text{ctg}(\angle ABH) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{BH}{AH} = \frac{12}{5}$

Ответ: синус равен $\frac{5}{13}$, косинус равен $\frac{12}{13}$, тангенс равен $\frac{5}{12}$, котангенс равен $\frac{12}{5}$.

5.

В треугольнике ABC проведена высота BD. Известно, что $AB = 12$ см, $\angle A = 60^\circ$, $\angle CBD = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD ($\angle BDA = 90^\circ$). Найдем высоту BD:

$\sin A = \frac{BD}{AB}$

$\sin 60^\circ = \frac{BD}{12}$

$BD = 12 \cdot \sin 60^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BCD ($\angle BDC = 90^\circ$). Найдем отрезок CD:

$\tan(\angle CBD) = \frac{CD}{BD}$

$\tan 30^\circ = \frac{CD}{6\sqrt{3}}$

$CD = 6\sqrt{3} \cdot \tan 30^\circ = 6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 6$ см

Ответ: 6 см.

6.

Дана равнобокая трапеция, диагональ которой перпендикулярна боковой стороне. Угол между боковой стороной и большим основанием равен $\alpha$, высота трапеции равна $h$.

Пусть ABCD — равнобокая трапеция с основаниями AD и BC, и боковыми сторонами AB и CD. По условию, $AC \perp CD$, $\angle CDA = \alpha$, и высота, опущенная из вершины C на основание AD (назовем ее CE), равна $h$.

Окружность, описанная около трапеции, является той же окружностью, что и описанная около треугольника ACD.

Так как $AC \perp CD$, треугольник ACD является прямоугольным с прямым углом C. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы. Гипотенузой в $\triangle ACD$ является большее основание трапеции AD. Таким образом, искомый радиус $R = \frac{AD}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CED ($\angle CED = 90^\circ$), где CE = h — высота трапеции. В этом треугольнике:

$\sin(\angle CDE) = \sin \alpha = \frac{CE}{CD} = \frac{h}{CD}$

Отсюда выразим боковую сторону: $CD = \frac{h}{\sin \alpha}$.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику ACD. В нем $\angle CDA = \alpha$. Мы можем связать гипотенузу AD и катет CD через косинус этого угла:

$\cos(\angle CDA) = \cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CD}{AD}$

Выразим гипотенузу AD: $AD = \frac{CD}{\cos \alpha}$.

Подставим ранее найденное выражение для CD:

$AD = \frac{h/\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{h}{\sin \alpha \cos \alpha}$

Используя формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin(2\alpha)$, получим $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{\sin(2\alpha)}{2}$.

$AD = \frac{h}{\frac{\sin(2\alpha)}{2}} = \frac{2h}{\sin(2\alpha)}$

Найдем радиус описанной окружности:

$R = \frac{AD}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2h}{\sin(2\alpha)} = \frac{h}{\sin(2\alpha)}$

Ответ: $\frac{h}{\sin(2\alpha)}$.