Страница 103 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 3

Тема. Теорема Фалеса. Подобие треугольников

1. На рисунке 124 $AB \parallel CD$, $MA = 12$ см, $AC = 4$ см, $BD = 6$ см. Найдите отрезок $MB$.

2. Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, причём стороны $AB$ и $BC$ соответствуют сторонам $A_1B_1$ и $B_1C_1$. Найдите неизвестные стороны этих треугольников, если $AB = 8$ см, $BC = 10$ см, $A_1B_1 = 4$ см, $A_1C_1 = 6$ см.

3. Отрезок $AK$ — биссектриса треугольника $ABC$, $AB = 12$ см, $BK = 8$ см, $CK = 18$ см. Найдите сторону $AC$.

4. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$ так, что $BM : MC = 2 : 9$. Через точку $M$ провели прямую, которая параллельна стороне $AC$ треугольника и пересекает сторону $AB$ в точке $K$. Найдите сторону $AC$, если $MK = 18$ см.

5. В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагонали пересекаются в точке $O$, $BC : AD = 3 : 5$, $BD = 24$ см. Найдите отрезки $BO$ и $OD$.

6. Через точку $M$, находящуюся на расстоянии 15 см от центра окружности радиусом 17 см, проведена хорда, которая делится точкой $M$ на отрезки, длины которых относятся как 1 : 4. Найдите длину этой хорды.

Контрольная работа № 3

Тема. Теорема Фалеса. Подобие треугольников

1. На рисунке 124 $AB \parallel CD$, $MA = 12$ см, $AC = 4$ см, $BD = 6$ см. Найдите отрезок $MB$.

2. Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, причём стороны $AB$ и $BC$ соответствуют сторонам $A_1B_1$ и $B_1C_1$. Найдите неизвестные стороны этих треугольников, если $AB = 8$ см, $BC = 10$ см, $A_1B_1 = 4$ см, $A_1C_1 = 6$ см.

3. Отрезок $AK$ — биссектриса треугольника $ABC$, $AB = 12$ см, $BK = 8$ см, $CK = 18$ см. Найдите сторону $AC$.

4. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$ так, что $BM : MC = 2 : 9$. Через точку $M$ провели прямую, которая параллельна стороне $AC$ треугольника и пересекает сторону $AB$ в точке $K$. Найдите сторону $AC$, если $MK = 18$ см.

5. В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагонали пересекаются в точке $O$, $BC : AD = 3 : 5$, $BD = 24$ см. Найдите отрезки $BO$ и $OD$.

6. Через точку $M$, находящуюся на расстоянии 15 см от центра окружности радиусом 17 см, проведена хорда, которая делится точкой $M$ на отрезки, длины которых относятся как $1:4$. Найдите длину этой хорды.

1. Поскольку прямые $AB$ и $CD$ параллельны, а прямые $MD$ и $MC$ являются секущими, пересекающимися в точке $M$, то по обобщенной теореме Фалеса (или из подобия треугольников $MAB$ и $MCD$) отношение отрезков на одной секущей равно отношению соответствующих отрезков на другой секущей.
Составим пропорцию: $\frac{MA}{AC} = \frac{MB}{BD}$.
Подставим известные значения: $\frac{12}{4} = \frac{MB}{6}$.
$3 = \frac{MB}{6}$.
$MB = 3 \cdot 6 = 18$ см.
Ответ: $18$ см.

2. Так как треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, то отношение их соответственных сторон равно коэффициенту подобия $k$.
Найдем коэффициент подобия, используя известные стороны $AB$ и $A_1B_1$:
$k = \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
Теперь найдем неизвестные стороны.
Сторона $B_1C_1$ соответствует стороне $BC$:
$\frac{B_1C_1}{BC} = k \Rightarrow B_1C_1 = k \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.
Сторона $AC$ соответствует стороне $A_1C_1$:
$\frac{A_1C_1}{AC} = k \Rightarrow AC = \frac{A_1C_1}{k} = \frac{6}{1/2} = 6 \cdot 2 = 12$ см.
Ответ: $AC = 12$ см, $B_1C_1 = 5$ см.

3. По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Для биссектрисы $AK$ треугольника $ABC$ это свойство записывается в виде пропорции:
$\frac{AB}{AC} = \frac{BK}{CK}$.
Подставим известные значения: $\frac{12}{AC} = \frac{8}{18}$.
Выразим $AC$:
$AC = \frac{12 \cdot 18}{8} = \frac{3 \cdot 18}{2} = 3 \cdot 9 = 27$ см.
Ответ: $27$ см.

4. Рассмотрим треугольники $BMK$ и $BCA$.
Так как прямая $MK$ параллельна стороне $AC$, то по лемме о подобных треугольниках, $\triangle BMK \sim \triangle BCA$.
Из подобия следует, что отношение соответственных сторон равно: $\frac{BM}{BC} = \frac{MK}{AC}$.
По условию $BM : MC = 2 : 9$. Пусть $BM = 2x$, тогда $MC = 9x$.
Вся сторона $BC = BM + MC = 2x + 9x = 11x$.
Подставим это в нашу пропорцию: $\frac{2x}{11x} = \frac{MK}{AC}$.
Сократив $x$, получим: $\frac{2}{11} = \frac{18}{AC}$.
Выразим $AC$: $AC = \frac{18 \cdot 11}{2} = 9 \cdot 11 = 99$ см.
Ответ: $99$ см.

5. В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ параллельны. Рассмотрим треугольники $BOC$ и $DOA$.
1. $\angle BOC = \angle DOA$ (как вертикальные углы).
2. $\angle CBO = \angle ADO$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$).
Следовательно, $\triangle BOC \sim \triangle DOA$ по двум углам.
Из подобия следует, что отношение соответственных сторон равно: $\frac{BO}{OD} = \frac{CO}{OA} = \frac{BC}{AD}$.
По условию $\frac{BC}{AD} = \frac{3}{5}$, значит $\frac{BO}{OD} = \frac{3}{5}$.
Пусть $BO = 3x$, тогда $OD = 5x$.
Диагональ $BD = BO + OD = 3x + 5x = 8x$.
По условию $BD = 24$ см, тогда $8x = 24$, откуда $x = 3$.
Находим длины отрезков:
$BO = 3x = 3 \cdot 3 = 9$ см.
$OD = 5x = 5 \cdot 3 = 15$ см.
Ответ: $BO = 9$ см, $OD = 15$ см.

6. Пусть $O$ — центр окружности, $R$ — её радиус, $M$ — данная точка. Расстояние от точки $M$ до центра $OM = 15$ см, радиус $R = 17$ см.
Пусть $AB$ — хорда, проходящая через точку $M$. По условию, точка $M$ делит хорду на отрезки $AM$ и $MB$, отношение которых равно $1:4$. Обозначим длины этих отрезков как $AM = x$ и $MB = 4x$. Длина всей хорды $AB = AM + MB = x + 4x = 5x$.
Воспользуемся теоремой о произведении отрезков пересекающихся хорд. Проведем через точку $M$ и центр $O$ диаметр $CD$. Точка $M$ разделит этот диаметр на отрезки $CM$ и $MD$.
Длины этих отрезков равны:
$CM = R - OM = 17 - 15 = 2$ см.
$MD = R + OM = 17 + 15 = 32$ см.
По теореме, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды:
$AM \cdot MB = CM \cdot MD$.
Подставим наши значения:
$x \cdot 4x = 2 \cdot 32$.
$4x^2 = 64$.
$x^2 = 16$.
$x = 4$ см (так как длина отрезка не может быть отрицательной).
Теперь найдем длину хорды $AB$:
$AB = 5x = 5 \cdot 4 = 20$ см.
Ответ: $20$ см.